如何证明 不存在两个有理数a、b，使得 a＋√b=³√2？ 第1页
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ling-jian-94 网友的相关建议:
本质上是个数域相关的问题，但是 这种形式有个很标准的做法，就是凑个共轭根式 ，然后形成一个二次方程
则若存在这样的a和b，则
是这个二次方程的根。熟悉数域理论的自然会发现已经矛盾了，不过我们不用数域理论，而是直接推导一个矛盾出来：
我们知道 也是 的根，那么我们将前面的二次方程两边乘以x得到：
代入 整理
再把第一式乘以2a：
两式相减：
如果 不为0，则x一定是个有理数，而我们显然知道 不是个有理数
（如果一定要证明，可以设 为既约分数，则 ，得到p和q都是2的倍数，矛盾）
因此必须有
代入得到
显然不存在这样的有理数（证明同前面的 ），矛盾
实际上上面的过程就是做了一个多项式的带余除法，即
可以看出，一个三次方程和一个二次方程的公共根的问题，和多项式的分解密切相关，它们有公共根的情况只有两种：要么有一个公共的一次有理多项式因子，要么三次方程能除尽这个二次方程。而 这样的多项式在有理数域里是不可约的，因此也就不可能和一个有理系数二次方程有公共的根。这样的思路最终就可以导出数域的概念。
plel 网友的相关建议:
这是我看到的最准确的总结。
总的来说，就是中国的高考相对公平，所以性价比极高，所以其他活动都可以适当让步。
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