如何证明 不存在两个有理数a、b，使得 a＋√b=³√2？ 第1页
1
ling-jian-94 网友的相关建议:
本质上是个数域相关的问题，但是 这种形式有个很标准的做法，就是凑个共轭根式 ，然后形成一个二次方程
则若存在这样的a和b，则
是这个二次方程的根。熟悉数域理论的自然会发现已经矛盾了，不过我们不用数域理论，而是直接推导一个矛盾出来：
我们知道 也是 的根，那么我们将前面的二次方程两边乘以x得到：
代入 整理
再把第一式乘以2a：
两式相减：
如果 不为0，则x一定是个有理数，而我们显然知道 不是个有理数
（如果一定要证明，可以设 为既约分数，则 ，得到p和q都是2的倍数，矛盾）
因此必须有
代入得到
显然不存在这样的有理数（证明同前面的 ），矛盾
实际上上面的过程就是做了一个多项式的带余除法，即
可以看出，一个三次方程和一个二次方程的公共根的问题，和多项式的分解密切相关，它们有公共根的情况只有两种：要么有一个公共的一次有理多项式因子，要么三次方程能除尽这个二次方程。而 这样的多项式在有理数域里是不可约的，因此也就不可能和一个有理系数二次方程有公共的根。这样的思路最终就可以导出数域的概念。
plel 网友的相关建议:
这是我看到的最准确的总结。
总的来说，就是中国的高考相对公平，所以性价比极高，所以其他活动都可以适当让步。
1
相关话题
数学书上这种是什么字体，以及应该如何手写？逃离丧尸包围的游戏，你能否逃生？
能否绝对地区分出虚数 i 与 -i？
请问这到微积分证明题题怎么证?？
在你看来，数学中有哪些大学课程会被下放给非数学系学生？为什么？
如何用数论证明 3^x＋4^x＝5^x 只有一个实数解？
这个用分部积分法求不出来，应该用什么方法求啊?
如何计算这个积分？
如何评价 2021 阿里巴巴数学竞赛决赛试题？
如何处理这类三个连乘的积分呢？
前一个讨论
质量是怎么转变成能量的？
下一个讨论
条件概率属不属于随机变量？为什么？
相关的话题
怎样直观的理解「极大无关组」，以及极大无关组的求法？如何在已知欧拉函数值的情况下求满足该欧拉函数值全部正整数？
哪里找一些有难度的定积分题？
9.99循环这个数存不存在，如果存在，那么它是整数还是无限循环小数？
有没有什么数字的某个幂次方等于0？
实数轴上还存在人类未知的数吗？
这个恒等式咋来的？
沃罗诺伊图（Voronoi Diagram，也称作Dirichlet tessellation，狄利克雷镶嵌 ）是怎样的？
俄罗斯数学物理那么发达有什么原因？
“黎曼猜想在公元2030年之前（含2030年）被证明的概率大于等于60%”这个陈述是不是命题？
该n元不等式如何解？（张端阳的题）?
我们在学习推算数学的过程中，是不是也在推演天道？
数学分析中，关于某个变量一致是什么意思？
如何评价 YouTube 频道 3Blue1Brown？
极小多项式有什么几何含义，怎么形象的理解这个概念？
高中数学有哪些像洛必达法则一样神一样有用的公式？
如何从数学角度证明魔方复原存在必可解策略？
怎样证明根号 3 是无理数？
怎么解决这个积分题目？
请问泰勒公式的几何意义是什么？
圆的面积 S 与半径的平方 R² 成正比，是从数学上的严格证明，还是一种数学直觉？
在 UCLA 上陶哲轩的课是什么感受？
Lagrange 如何用连分数理论推导出一次同余方程的通解？
任何Abel群都能在其上赋予乘法，使其变成含幺环吗？
我今年 14 岁，想了一个数学思路，把数学各领域的联系写出来了，这个思路有什么问题吗？
大佬们看看这个积分，不知道是不是题目错了，完全算不出来?
如何比较这两个数的大小?
第二问怎么用加边法思路?
我知道 ∑n，∑n²，∑n³ 的结果，那是否能够求出 ∑n^k（k 为正整数）的一般形式通项公式？
为什么高中不直接开设高等数学、线性代数、概率统计这几门课呢？