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如何证明 不存在两个有理数a、b,使得 a+√b=³√2? 第1页

  

user avatar   ling-jian-94 网友的相关建议: 
      

本质上是个数域相关的问题,但是 这种形式有个很标准的做法,就是凑个共轭根式 ,然后形成一个二次方程

则若存在这样的a和b,则

是这个二次方程的根。熟悉数域理论的自然会发现已经矛盾了,不过我们不用数域理论,而是直接推导一个矛盾出来:

我们知道 也是 的根,那么我们将前面的二次方程两边乘以x得到:

代入 整理

再把第一式乘以2a:

两式相减:

如果 不为0,则x一定是个有理数,而我们显然知道 不是个有理数

(如果一定要证明,可以设 为既约分数,则 ,得到p和q都是2的倍数,矛盾)

因此必须有

代入得到

显然不存在这样的有理数(证明同前面的 ),矛盾

实际上上面的过程就是做了一个多项式的带余除法,即

可以看出,一个三次方程和一个二次方程的公共根的问题,和多项式的分解密切相关,它们有公共根的情况只有两种:要么有一个公共的一次有理多项式因子,要么三次方程能除尽这个二次方程。而 这样的多项式在有理数域里是不可约的,因此也就不可能和一个有理系数二次方程有公共的根。这样的思路最终就可以导出数域的概念。


user avatar   plel 网友的相关建议: 
      

这是我看到的最准确的总结。

总的来说,就是中国的高考相对公平,所以性价比极高,所以其他活动都可以适当让步。




  

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