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如何证明内积形式的施瓦茨不等式? 第1页

  

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我们更进一步,证明复内积空间(即酉空间)上的Schwarz不等式。

设 是复线性空间,我们要在这个空间上定义内积。这种内积作为实内积的推广,与实内积的唯一不同之处是,其对称性为共轭对称性,即

其余的两个性质是完全相同的,分别是正定性:

以及左线性性:


在复内积空间 中,Schwarz不等式的形式如下:

其中,左侧为复数的模的平方。

证明这一不等式是容易的。事实上,对任意 ,我们有

  1. 当 时,Schwarz不等式显然成立。
  2. 当 时,取 ,则有

整理后即得Schwarz不等式。




  

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