是否存在f: [0,1]→R+, 使得f在[0,1]的黎曼积分为0? 第1页
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zhai-sen-8 网友的相关建议:
你自己不都快做出来了。。。
令 。假设 在 Riemann可积，则一定Lebesgue可积，故 是Lebesgue可测函数，故 是Lebesgue可测集。按照你说的（2），每个 （这里我顺便补充一下原因，倘若 ，则 ，矛盾）。
注意到 单调递增趋于 （因为 是映到 的），故由测度的连续性知 ，但 ，矛盾。
顺便，这个题有简单证法。还是假设Riemann可积，则Lebesgue可积。再因为 非负可测以及 知道 几乎处处为 ，这就已经违背了映到 的条件了。
此外，用你说的（1）处处不连续也可以立刻看出来，因为黎曼可积等价于几乎处处连续，不过这个等价性的证明比较复杂。
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