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这张算数入门图(一只兔子加一只兔子)里的题在算什么? 第1页

  

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@Kushim Jiang 给出了图中第一个公式的证明,下面证明第二个公式(即连续形式的Stirling公式)

由图可知, 所以

而根据离散形式的Stirling公式,有:

其中 为某待定常数, 为周期延拓的一阶伯努利多项式。现在再根据Gamma函数的极限定义[1],得:

求对数,便有:

对于红色部分,利用(1)可得:

对于蓝色部分,带入欧拉-麦克劳林公式(Euler-Maclaurin formula),得:

红减蓝,得:

回代至(2),得(定义 ):

令 便有:

对于绿色积分,我们很容易得出:

带入回去我们便得到了连续形式的Stirling公式:

确定常数A

尽管现在我们已经完成了原图内容上所有公式的推导,我们仍然对A感到好奇。为什么不顺便把它搞出来呢?

根据Gamma函数的Legendre倍元公式(Legendre's duplication formula)[2],有:

求对数,便得:

利用(3),可得:

回代至(4),便有:

现在根据 ,我们便能通过计算极限 来得到A的值:

带入回(3),我们就得到Stirling公式的最终版本:

倘若对(4)求指数,则得Stirling近似公式(Stirling's approximation)

参考

  1. ^Gamma函数的那些事儿(1)——定义 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/114041258
  2. ^勒让德倍元公式如何证明? - 知乎 https://www.zhihu.com/question/403116146/answer/1300619113

user avatar   Kushim-Jiang 网友的相关建议: 
      

注意到 ,考虑化成 Euler–Maclaurin 求和公式的形式。

对任意闭区间 连续开区间 可导的函数 而言,

注意到图中的

考虑取 ,从而取 。于是 (1) 式特化为

由于 ,。

另外,注意到 ,从而整个公式段的 函数解析式唯一。考虑到等号左边一直是 的形式,应该在讨论 Stirling 公式之类的事情吧。




  

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