@Kushim Jiang 给出了图中第一个公式的证明,下面证明第二个公式(即连续形式的Stirling公式)
由图可知, 所以
而根据离散形式的Stirling公式,有:
其中 为某待定常数, 为周期延拓的一阶伯努利多项式。现在再根据Gamma函数的极限定义[1],得:
求对数,便有:
对于红色部分,利用(1)可得:
对于蓝色部分,带入欧拉-麦克劳林公式(Euler-Maclaurin formula),得:
红减蓝,得:
回代至(2),得(定义 ):
令 便有:
对于绿色积分,我们很容易得出:
带入回去我们便得到了连续形式的Stirling公式:
尽管现在我们已经完成了原图内容上所有公式的推导,我们仍然对A感到好奇。为什么不顺便把它搞出来呢?
根据Gamma函数的Legendre倍元公式(Legendre's duplication formula)[2],有:
求对数,便得:
利用(3),可得:
回代至(4),便有:
现在根据 ,我们便能通过计算极限 来得到A的值:
带入回(3),我们就得到Stirling公式的最终版本:
倘若对(4)求指数,则得Stirling近似公式(Stirling's approximation):
注意到 ,考虑化成 Euler–Maclaurin 求和公式的形式。
对任意闭区间 连续开区间 可导的函数 而言,
注意到图中的
考虑取 ,从而取 。于是 (1) 式特化为
由于 ,。
另外,注意到 ,从而整个公式段的 函数解析式唯一。考虑到等号左边一直是 的形式,应该在讨论 Stirling 公式之类的事情吧。