实数域上的连续函数f，存在一个有理数a和一个无理数b使得a与b均为f的周期。如何证明f为常值函数？ 第1页

我来补充一下 @左笔一支 的回答（就是说为什么没有最小正周期的连续周期函数一定是常函数，一定要注意连续性的条件是必须的）。加上我的补充，他的证明就是完整的。

引理1 如果 上的连续周期函数 没有最小正周期，设 是所有正周期组成的集合，则

证明：设 ，这表明对任何正整数 ，总能找到 使得 。因此数列 。由 的连续性，对任何 ，都有 。由于常数列的极限还是本身，故 ，这表明 也是周期。假如 ，则 ，故 有最小值 ，矛盾。故

引理2 对于任何两个正实数 ，都存在 使 （ 的含义同引理1）

证明：由引理1 ，并且 ，所以在 中总能找到一点 使 。设正整数 是使 的最小正整数。则必然有 。（若不然，则 ，这样 就是满足条件的更小的正整数，矛盾）。而根据周期的性质，由 知 ，所以取 就完成了证明。

定理 如果 上的连续周期函数 没有最小正周期，则 是常函数。

证明：任取实数 。由引理2，对任意正整数 ，总能找到 使得 ，这样就有 且 。由 的连续性知 。由于常数列的极限是本身，故 。由 的任意性知 是常函数。