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实数域上的连续函数f,存在一个有理数a和一个无理数b使得a与b均为f的周期。如何证明f为常值函数? 第1页

  

user avatar   zhai-sen-8 网友的相关建议: 
      

我来补充一下 @左笔一支 的回答(就是说为什么没有最小正周期的连续周期函数一定是常函数,一定要注意连续性的条件是必须的)。加上我的补充,他的证明就是完整的。

引理1 如果 上的连续周期函数 没有最小正周期,设 是所有正周期组成的集合,则

证明:设 ,这表明对任何正整数 ,总能找到 使得 。因此数列 。由 的连续性,对任何 ,都有 。由于常数列的极限还是本身,故 ,这表明 也是周期。假如 ,则 ,故 有最小值 ,矛盾。故

引理2 对于任何两个正实数 ,都存在 使 ( 的含义同引理1)

证明:由引理1 ,并且 ,所以在 中总能找到一点 使 。设正整数 是使 的最小正整数。则必然有 。(若不然,则 ,这样 就是满足条件的更小的正整数,矛盾)。而根据周期的性质,由 知 ,所以取 就完成了证明。

定理 如果 上的连续周期函数 没有最小正周期,则 是常函数。

证明:任取实数 。由引理2,对任意正整数 ,总能找到 使得 ,这样就有 且 。由 的连续性知 。由于常数列的极限是本身,故 。由 的任意性知 是常函数。




  

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