阿贝尔变换强大在哪里？ 第1页

请你回忆数列极限的乘法运算法则的证明，即设 是数列， 证明 我们会用到一个很重要的结论是

接下来只需利用 的有界性和 的极限即可。

这个结论看上去技巧性很强，实际上就是 Abel 变换的简单特例，只不过它的项数只有

利用 Abel 变换，可以证明很多涉及到乘积的求和的问题，因为它可以将乘积的求和表示为求和的乘积。例如级数收敛的 Abel 判别法，即若级数 收敛，数列 单调有界，则 收敛。证明的关键步骤是利用当 时

得到

另外还有积分第二中值定理。设 是 上的可积函数， 单调，则存在 使得

在很多地方只给出了当 可微且 连续时的证明过程，然而这个定理只需要可积就可以成立。在这种较弱的条件下，不得不用到定积分的定义，从而出现 Abel 变换。

阿贝尔变换是RS积分的基石：

先推导一遍阿贝尔变换：

现在我们考虑[a,b]上的连续函数f和有界变差函数g某一区间上的划分 ，则有：

而当 时，我们就得到了分部积分公式：

由于g是有界变差函数，我们就能将此类积分用于研究数论。比如假设我们定义素数计数函数为：

和zeta函数 ，则有：

而这一切漂亮的结论都基于数分里的阿贝尔变换。