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既然负数开平方可以拓展出一个复数系,那 1/0 也可以拓展出新的数系吗? 第1页

  

user avatar   li-rui-jie-85 网友的相关建议: 
      

那不叫新的数系,那叫空间的紧致化,是一个几何模型。

简单来说,实轴 加上1/0可以赋予一个自然的拓扑,使得它同胚于一个圆周,因此是紧致空间。复平面 加上1/0能变成一个球面,也是紧致的,通常叫它“复球面”。

这些空间可以给它们再赋予一些流形结构,即在它们每点处确立一个局部坐标系,或者说是用若干个带坐标的区域(简称“坐标图册”)去覆盖整个空间,当然区域重合的地方两边的坐标之间可以不一样,但得有个兼容性转换,这个转换是由一个欧式空间之间的双射给出的,且这个双射的可微性就确立了这个流形结构的光滑程度。等等诸如此类的概念,我暂时就不扯远了。

一个比较常用的模型就是射影空间,比如说 ,它就是在上述“ ”空间上赋予这样一个坐标图册:在 上坐标和 一样,在0以外包括1/0的区域取倒数坐标(所谓赋予坐标,其实就是给出这个区域到 中某个开集的一个同胚映射)。当然 还有别的描述,比如,在平面 上取一个单位圆周,并且对这上面的点来定义一个等价关系(对径点相互等价),然后 就定义为全体等价类构成的空间,它的拓扑结构可由 来诱导,流形结构则是先在这个圆周上确立(分成4个半圆,坐标取x/y或y/x),再作商给出,可以证明它和上面的“ ”在光滑同胚的意义下是一样的,具体我就不多说了。此外不难看出, 恰好刻画了平面上过原点的直线全体。




  

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