P是任意数域，如何证明P^n*n对于普通加法和乘法构成的环没有非平凡理想？ 第1页
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【记号说明】
表示第 行第 列为 ，其他地方为 的矩阵
表示单位矩阵
这里 是指n阶矩阵构成的环吧，普通加法和乘法理解为矩阵的加法和乘法。
假设 是 的一个理想，很容易验证 是 上的线性空间（想想为什么对数乘封闭）。如果 ，则至少有一个非零矩阵 使得 。假设 的第 行第 列的元素 非零，则由
知道 （由理想的定义），这里 的第 列是 的第 列，其余为 。
对称地可进一步知道 ，由 知 （理想的定义）
然后由
知道 （理想的定义），取遍 就知道第 行所有这样的基矩阵都在理想中 。对称地可以知道，第 列所有这样的基矩阵都在理想中 。
既然由 能推出所有的第 列的基矩阵 ，那么由刚才证明过的任何 就能推出所有的第 列的基矩阵 ，取遍 就表明 中所有的 个基向量都在理想 中，因此 。
这样，我们论证了 没有非平凡的理想
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