(G/H)×H是否同构于G？ 第1页
1
malloy-37 网友的相关建议:
不是，考虑整数加群 ，它的正规子群 与 同构，而商群 是2阶循环群，分别考虑群 和群 的生成元， 只有一个生成元，而 有两个，虽然这两个集合的元素个数是相等的(等势)，但是它们的群结构不相同(生成元不同)，所以 。
然后我们尝试寻找一个条件来让 成立，实际上反例往往也是为我们排雷的好帮手，受以上反例启发，我们应该尽量避免选取 为无限群，且最好要使 同构于 的一个子群( 的任何子群都不与 同构)。那么答案就更进一步了，我们都知道 是 过 的扩张，扩张核为 ，显然 ，若 同构于 的一个子群，则 就是半直积并同构于 。所以我们要找的就是一个能证明 的条件，我们不妨把条件定为：
同构于 的一个正规子群，即 。
这个条件让半直积 成为了内直积，那么上面的条件就是我们要的答案了，因为
结合 ，即得 。
Q.E.D
并且这个条件还是必要的，因为总有 。
而实际上定理2.5.5的描述还给出了一个更一般的内直积 同构于外直积 的充分必要条件。
1
相关话题
哪个整系数多项式方程的根是 √2 + √3 + √5，如何得到这个方程？伽罗瓦理论究竟讲了什么？为什么其中用到了群论的知识？
能否通过列举一些代数式、方程加以分析、说明，直观解释阿贝尔定理（Abel–Ruffini th.）？
114514 阶的群有哪几类？
任何Abel群都能在其上赋予乘法，使其变成含幺环吗？
设群G有一个指数为4的正规子群,则G也有一个指数为2的正规子群。这个要怎么证明呢？
为什么正规子群在环里的对应概念叫理想，而不叫正规子环呢？
交错群An(n大于等于5)是单群理解上有个小问题，大家怎么看？
被人问，数学上为什么减去一个负数等于加它的相反数（这种规定从何而来）？
是否存在一个比复数更大的数域，使得任意五次方程都有根式解？
前一个讨论
何为神之一手？
下一个讨论
既然暗物质“观测”不到为什么还要定义为物质？
相关的话题
如何把微信群/QQ群构造成一个阿贝尔群？为何从一元五次方程开始就没有由有限次加、减、乘、除、开方运算构成的求根公式了？
平面上两条 n 次曲线相交，交点的最大个数是否为 n²？
在整环中，若两个非零元存在最大公约数，则它们是否一定也存在最小公倍数？
如何证明:p3阶非Abel群的中心必同构于Zp，这里p为素数？
历史上，近世代数中环和域的概念是怎样逐步建立的？
求问学抽象代数的大佬，如果f(x)的次数为n，那么分裂域E/F的次数为什么是n!，分裂域的次数是什么?
Z^n的所有子群怎么求？
为何从一元五次方程开始就没有由有限次加、减、乘、除、开方运算构成的求根公式了？
1×0＝0 是因为 0 乘以任何数字都等于 0，还是因为 1 乘任何数字都等于那个数？
如何证明dimQ（R）=dimQ（C）？
负数与负数相乘为什么会得正？
任何Abel群都能在其上赋予乘法，使其变成含幺环吗？
哪个整系数多项式方程的根是 √2 + √3 + √5，如何得到这个方程？
如何证明 √2 + √3 + √5 是无理数？
如何证明有理数加法群不是有限生成群？
如何直观地理解群论？
S＝{a+b√3i | a∈Q, b∈Q} 是数域吗？
请简单地表述结合律和交换律的区别和联系。结合律为什么那么普遍？
在线性代数中如何用几何表示非方阵矩阵相乘？
如何直观地理解群论？
如果你要向一位学过初级的抽象代数的本科生推销数学工具「正合序列」，你会如何介绍它？
从古典的解析几何到现代的代数几何，研究的问题都有些什么变化？又有哪些共同的问题？
如何利用群论的知识解决三阶魔方？
为什么感觉群论学起来比数学分析之类难好多？
如何证明实数域是最大的有序阿基米德域？（这是“完备性”的本质吗）？
高等代数中线性变换的核的基怎么求？
有限维线性空间的有限是怎么理解？
如何利用群论的知识解决三阶魔方？
如何证明下面的群是奇数阶Abel群？