如果使 1÷0 有意义，那么应该等于多少？ 第1页

从代数的角度看，在一个域中， （加法单位元）乘任何元素都是 ，而根据域的定义， 不等于 （乘法单位元），所以 一定是没有乘法逆元的。换句话说，在域中 不能做除法的分母。【附注1】

这就意味着，如果要使得 有意义，就必须构造一个新的代数系统，这个代数系统需要包含“无穷”这个元素（记为 ），并且这个代数系统不可能是域。

为了方便，直接在复数范围内考虑了。对于复数域 ，我们构造一个新的代数系统 。直接定义 ，回答结束。

但你仍然不满意，因为你感觉 是强行定义出来的，它在现实中有什么对应吗？那就要给出如下的解释：

1. 几何解释： 对应黎曼球的北极点（前置知识：知道复平面即可）
2. 代数解释： 是一个等价类（前置知识：抽象代数）

【几何解释】 对应黎曼球的北极点

上面的平面是复平面 ，在这个平面上放了个球，称为黎曼球Riemann Sphere，记做 。球的下面在原点处与复平面相切。仿照地球，我们把 最上方的点叫做北极点（图中的 点）。

现在考察复平面 上任一点 。把它和北极点 连起来，就会和 交于一点 。反过来，如果给定黎曼球 上不是北极点的任一点 ，把它和北极点 连起来，延长出去，就会和 交于一点 。

这说明，复平面上的点和黎曼球（挖掉北极点）上的点能建立起一一对应关系，换句话说， 在 与 之间能建立双射。这个映射叫做球极投影。

而且我们观察到，北极点其实没法对应于复平面上的任何点。而且，如果复平面上的 离原点越来越远，那么它在球上的投影 会越来越接近于北极点。这就表明，我们其实可以直接把北极点 当成所谓的“无穷远点”。

因此，我们定义 是能投影到北极点 的元素。这样的话， 就能和 一一对应了。我们把 叫做扩充的复平面。这就是 的几何解释。

现在可以从几何角度回答题主的问题了。 定义为 ，它在几何上的含义就是黎曼球的北极点。

NOTE：由于此时 当分母了，因此扩充的复平面 不再是域，所以扩充的复平面上很多熟知的运算性质就失去了，这一点必须注意。

【代数解释】 是一个等价类

（为方便以下只考虑实数范围。）

对于除法，显然有 。现在我们模仿除法定义一个等价关系。

考虑两个非零向量 。模仿除法，定义关系 为 。可以验证 是等价关系。因此在 下就会有所有等价类组成的商集

观察到 是单射（其中 表示 的等价类），从而可以把实数 等同于 中的等价类 。在这个等同意义下， 可以看做是 的子集

不难发现， 中除了 以外，其他元素都有原像。但是， 找不到在 中的原像。这就意味着， 。

现在可以从代数角度回答题主的问题了。定义 就是 中的一个等价类 ，这样就有

NOTE：其实，射影几何中出现的齐次坐标就是这个原理。射影几何中的无穷远点就是上面定义的等价类 。

NOTE：再次提醒，此时 不是一个域。事实上，在 中甚至很难定义出well-defined的加法和乘法运算。如果模仿分数加法 去定义 中的加法的话，就会有 。但如果按照这个定义的话，就有 ，甚至都没有封闭性。这表明在定义加法的时候，还需要对 单独讨论，这就造成了 不可能有好的性质。

一般地，对于整环 来说，在 中难以很好地定义加法和乘法，但是在 中就可以定义出well-defined的加法和乘法。并且可以验证， 构成一个域，它叫做 的分式域。利用这个方法，我们可以从整数 构造出有理数 来。这可能也是让分母不能为0的深层原因吧。

思考题1：假设黎曼球的半径是 。如果黎曼球上某个点的坐标是 ，那么它投影到复平面上的点的坐标怎么写？

思考题2：在扩充的复平面上，你觉得下列哪些运算应该有定义？如果有，你认为应该定义成什么呢？（思考题2的答案可以参考其他答主的回答。）

, , , , , ,

（最安全的做法当然是，以上运算都不定义，但这样显得有些无聊。事实上，我们可以基于一些理由，给出一些看起来合理的定义，就如同我们定义 一样。同时一定要记住，扩充的复平面不再是域，以上定义的运算必然不会满足某些熟知的运算规律）

【附注1】评论区有人指出关于域的定义问题。我学习的版本中含有0≠1的规定，当然有些地方没有这个规定。如果0=1，那么容易证明所有元素都是0（这个结论在环中就已经成立），此时就变成trivial的{0}了，并且此时0有逆元，而且就是0，这样就要1÷0=0（反正就0一个元素，怎么算都是0嘛）。事实上，0≠1的规定有一定的好处，比如我们知道所有有限域都有所谓的特征character，它是一个素数p。如果允许{0}，那么它是没有特征的，感觉就不太好。当然这不是什么本质的问题，就是定义问题，特此说明。

这样的数的运算规则是需要受到严格限制的。比如复变里面的无穷元，辐角依然是没有意义的，有一些运算也依然被禁止。

其实定义为「没有意义」也是一种定义，只要1/0等于一个数「undefined」不能参与任何运算，那也没关系。

命题可能不成立。所以也就无法回答它等于多少。

为什么命题可能不成立呢？因为一个数它之所以存在，是要参与运算。

一除以零之所以没意义，是因为这个结果无法参与任何代数运算。不满足常规数学运算的规则。

假如你把一除以零命名为无穷，然而这个所谓的无穷，并不能像常规的数一样参与数学运算，它参与数学运算会导致非常多的数学公式不成立，无法纳入到现有的数字体系中。

所以，要想使它有意义，除非你能定义一个数学体系，让这个数能够在这个体系内正常参与运算，

我从小学开始就思考这个问题，到了中学，大学继续思考，工作之后也仍然思考过。然而最终发现，没有办法把这个数定义成有意义的值，因为这个值它不是自然数，不是有理数，不是实数，也不是复数，不属于已知数字范围内的任何数，这个数无法以兼容现有数学运算规则的方式参与任何运算。