求问学抽象代数的大佬，如果f(x)的次数为n，那么分裂域E/F的次数为什么是n!，分裂域的次数是什么? 第1页

举个粟子

考虑单代数扩域的过程:

为了方便说明，设F=Q有理数域。

Q(√2)就是在Q的基础上添加了代数元√2。

Q(√2)实际上是一个线性空间，维数为2, {1,√2}是它的一组基底，其中的任意元素都可以写作a+b√2的形式，其中a,b∈Q, 线性空间的八条公理可以逐条验证。

问: Q(√2):Q=2成立吗？这个和Q(√2)维数是2有什么关系？

答: 成立。Q(√2):Q的次数可等价表述为: Q(√2)中的元素总可以经过一个2次多项式变换为Q中的元素。并且这个次数不能更小。

比如:(x-a)²=2b∈Q(可以将a+b√2代入验证)。

这个次数其实和维数是相等的，后面我们就会明白为什么。

问: 多项式f和这个有关系吗？

答: 比如√2其实就是方程x²-2=0的根。Q(√2)是Q在关于方程x²-2=0的分裂域。

这个时候( 敲黑板，老师: 我要变形了！)，

我们在Q(√2)的基础上再添加∛3，即

Q(√2)(∛3)

那这个时候Q(√2)(∛3):Q的维数是多少？

有人说，基底变成

{1,√2,∛3}

于是维数是3，错误。

实际上，基底应该是

{1,√2,∛3,∛3²,√2∛3,√2∛3²}

维数应该是6。新添加的元素与原有的元素也是可以相互组合的！

Q(√2):Q=2=2!

Q(√2)(∛3):Q=3!=6

是不是明白了什么？

最终话

事实上，通过维数公式:

D:F=(D:E)•(E:F)

即

Q(√2)(∛3):Q=[Q(√2)(∛3):Q(√2)]•[Q(√2):Q]

也就是说，我们只要计算Q(√2)(∛3):Q(√2)就可以了。Q(√2)(∛3)中的元素只要通过一个3次变换就可以进入到Q(√2)中，即

Q(√2)(∛3):Q(√2)=3，

于是

Q(√2)(∛3):Q=3x2=3！

这里显然有一个递推关系，于是造成了阶乘的产生。

那么，更一般地，有

F(ⁿ√p):F=n

于是每一次的单扩域都造成了次数变为之前的n倍，于是就有了如题所述之现象。

注: 通过论述发现，n!实际上是一个上界，f如果有重根，那这个扩张的过程就打折扣了。

有不严谨的地方，请各位指教。实在不行，我就删帖。(⌒▽⌒)