有哪些有趣的或者是反常识的数学问题？ 第1页

调和分析大师 M.Stein 所著的 《傅里叶分析导论》里面讲了一个非常有趣数学问题：

问题：设 为无理数，则数列 在区间 中会如何分布？

其中 为 的 分数部分. 由于 为无理数，从而可知数列 中的数两两不等. 如当 时，

对于上述问题，数学家 Kronecker 首先得到了下述重要结论：

定理 1：设 为无理数，则数列 在区间 中稠密.

后来，数学家得到了下述更强的结论：

定理 2：设 为无理数，则对任意的区间 ，我们有

定理 2 表明，当 足够大时， 在区间 中的项数与在区间 中项数之比为区间 与 的长度之比，即数列 在区间 中 等分布！显然，定理 1 为 定理 2 的推论. 定理 2 不仅结论有趣，其证明更是堪称巧妙！可以看出这个定理的关键是求极限，但这个极限的计算却是用 傅里叶级数 的理论解决的，即为

引理：设 为无理数， ，则

由此 引理，我们可以给出上述 定理 2 的一个非常巧妙的证明.

定理 2 的证明：对给定的区间 ，设

为其 特征函数. 将 延拓为 上周期为 的周期函数，且仍记为 ，则显然 . 由 的定义不难知道

从而由 引理 可得

除 外，其实还有很多数列在区间 中也是等分布的，比如数列

当然也有很多数列在区间 中不是等分布的，比如数列

那么对于一个数列 ，如何判断其在区间 中是否为等分布的呢？对于这个问题，我们有下述著名的结论：

Weyl 准则：数列 在区间 中等分布当且仅当对任意非零整数 ，有

小时候在课外书上看到的一道题，当时觉得不可思议，现在觉得有时候科学真的是很反常识，题目如下：

假设地球是一个光滑的球体，有一条绳子刚好可以围着赤道缠绕一圈（也就是说绳子的长度等于赤道周长，缠上去严丝合缝的），此时，把绳子长度增加一米，再围着赤道形成一个圆，理论上绳子会与地面产生一定的空隙，那么这个空隙有多大呢？

假如你是第一次见到这个问题，用日常的认知去想，会觉得，地球那么大，赤道长度几万公里，绳子只增加一米，那点空隙完全可以忽略不计嘛。

但事实呢，只需要用小学的数学知识就可以轻松计算出来，这个空隙大约是15.9cm。怎么样，惊呆了吗，只增加了一米，这个空隙就有15.9cm。

更让人惊讶的是，在这个题目中，地球已经够大了，假如我们把地球换成木星、太阳、银河系甚至是宇宙，最终答案都是一样的15.9cm。这一切多亏了圆的周长公式，所以我们也可以称其为众生平等公式！