如图，这个二元函数的界怎么估算？ 第1页
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the-areas 网友的相关建议:
令 ， ，那么 ， 。我们知道 在正方形 的四顶点函数值之和为0，想证明在正方形上 。由Lagrange中值定理有
（注意上面涉及的线段都在正方形内）。四式相加得
因此 。
编辑：这个方法高维推广会遇到困难，因为，比如三维的情况，这样换元就会把正方体变成正八面体，就无法套用中值定理了。还需要更好的方法。
liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
不妨设
- 若
设线段（弧长参数）
满足
考虑一元函数 ，其导数为
于是由 中值定理
将四个式子叠加
又
将这两个估计代入
- 若
则取一列 列收敛到点 ，由函数的连续性、极限的保号性可知上面的不等式依然成立。
这个证明得到的上界介于
以后有机会再改进改进吧……
所以将这个结论推广到多元函数，函数最大绝对值至少由上界
控制，其中 表示 维闭单位立方体内一点，到各个顶点距离。这个最大值在项点处取得，证略。
利用 求和得到上式右边的粗略估计：
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