请问这道求和极限题应该怎么处理？ 第1页

谢邀，本人数学水平较差，强行答题一波，望能抛砖引玉。

我个人觉得这道题还是很复杂的，不知道知乎上的大佬们能不能给出简洁而完美的解法。

在这里，我先给出我的解题（或者很可能是伪证）的整个过程。我的整个方法肯定有很多不严谨的地方，希望各位大佬能够一一指正，或者给出真正正确的解法。

之前，有一个回答用正项级数证明了答案是0，应该是有问题的。可以用截取区间进行放缩的方法证明极限必然大于0。如果各位愿意一看，可以参考我之前回答的夹逼方法。

总之，由上述方法，我们最终得到：

然后，我使用了MATLAB进行运算求解n = 10000的情况

是运算结果，大约为0.22064，发现 ， 就是 ,其结果趋于0。经过数次不同 的求解后，图像如下：

于是提出猜想：

引理1：

由夹逼定理，

引理2：

命题： ,也就是说，正整数对 的余数在区间 上是近似服从均匀分布的。

证明：由于 是无理数，因而 使得 。

于是，我们不妨将所有正整数 以 坐标放入极坐标系中。此时，对于 且 ，我们能够在某个特定的极大的尺度 上看到正整数的分布在 个曲率非常小的旋臂 上。具体的过程和原因可以参照3Blue1Brown大佬的可视化分析。

因此，当 时， ，这时，我们会发现，旋臂的数量 ,同时，旋臂的曲率 。也就是说，自然数近似分布在以极点为中心的各向均匀分布的无数条射线上。因此，自然数对 的余数是均匀分布的。

进而，自然数对 的余数在 上近似服从均匀分布。概率密度近似为

由此，有推论：


证明：将正整数分类为 组，其中第 组所有元素 ,那么当 时， ,每组元素与极坐标中的每条直线是一一对应的关系。从而：

这样分类后，对内部每一项应用Stolz定理：

进而，原式可化为：




证明思路：同上，将正整数分类为 组，其中第 组所有元素 ,那么当 时， ,每组元素与极坐标中的每条直线是一一对应的关系。从而：

这样分类后，对内部每一项应用Stolz定理，此时，当 时，每一组元素中 ：

进而，原式可化为：


若有 ，则
证明：
任取 ，则
因而：

猜想 的证明：

最后，我还是说明一下，以上证明必定存在很多严谨性问题以及说理含糊不清，甚至可能是伪证。希望大家能够交流指正，互相进步！