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请问怎样去证明? 第1页

  

user avatar   liu-yang-zhou-23 网友的相关建议: 
      

这个不等式的几何意义是将这个二重积分控制在一个锥体里面。


,有 ,从该点向圆心出发的线段记为 :

于是由有限增量定理:

由于 的任意性,注意到这个估计对于任意方向都成立,于是有


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没仔细计算,写一个思路。

拟微分中值定理:设 是 的凸开集, 是可微映射。则对任意 ,存在 使得

其中 表示Jacobian, 为Euclid矩阵范数。

原题中 不是开集,但是没关系,埋伏他一手。取正实数 并考察点 以及与它充分接近的点 ,(其中 )这样由连续性, 。从而由绝对值不等式

因为 是零测集,所以只需要在 积分,也就得到

令 ,则 ,得到

接下来愉快地计算积分吧!直接极坐标代换,上面最后一个积分等于

命题得证。


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更进一步,可以证明右侧系数是最佳的,留作习题。






  

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