有没有处处不可导的凸函数？ 第1页

欧氏空间中的凸函数的定义如下：

定理1：如果函数是凸的，那么是局部Lipschitz的。【证明参见：Measure theory and fine properties of functions, L. C. Evans and R. F. Gariepy., 第236页定理1】

根据

定理, Lipschitz函数几乎处处可导。（你可以理解为，函数在除了一些“小”集合以外的其它地方都可以求导。）所以不存在处处不可导的凸函数。

其实凸函数还有一个更加强性质：

定理2：（

）如果函数是凸的，那么是几乎处处可求二次导函数的。【证明参见：Measure theory and fine properties of functions, L. C. Evans and R. F. Gariepy, 第242页定理1】

对于定理1在一维的情形，我给一个不严格几何直观：考虑，根据凸性（真的）不难验证点在连接直线的上方，并且在连接直线的下方。此时如果让趋近于，它只能在一个角型区域内（顶点为并且夹在两条直线中）。所以重复类似的方法（交换再次进行讨论），我们得到了局部Lipschitz连续性。

============2015年6月21日17:41:34===========

评论有人说看不懂，我就为最后一段配了一张图（其中橙色部分为可能的区域）：