收敛的序列是否存在单调的子序列（不要求严格单调）？ 第1页
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dhchen 网友的相关建议:
首先，不需要收敛。
事实上任意实数列都有单调子序列。
设 是一个数列，如果其中一个元素 大于或者等于所有它之后的元素，也就是 ，
那么我们管这个元素叫peak。对于一个数列有两种可能：有无限个peak和只有有限个peak。
如果是第一种情况，那么这些peak构成一个单调递减的子序列。
如果是第二种情况，我们知道只要 充分大之后， 就不是peak了，那么对于它我们肯定能找到一个元素 ,元素 也不是peak，于是可以找到一个 .以此类推我们可以得到一个单调递增的子序列。
这个定理的用处蛮大的，一个有趣的应用是证明任何的有界的序列必然有收敛子序列，首先根据这个定义知道一个单调序列，然后这个序列必然有界，于是根据确界原理，这个序列是收敛的。
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