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收敛的序列是否存在单调的子序列(不要求严格单调)? 第1页

  

user avatar   dhchen 网友的相关建议: 
      

首先,不需要收敛。

事实上任意实数列都有单调子序列。

设 是一个数列,如果其中一个元素 大于或者等于所有它之后的元素,也就是 ,

那么我们管这个元素叫peak。对于一个数列有两种可能:有无限个peak和只有有限个peak。

如果是第一种情况,那么这些peak构成一个单调递减的子序列。

如果是第二种情况,我们知道只要 充分大之后, 就不是peak了,那么对于它我们肯定能找到一个元素 ,元素 也不是peak,于是可以找到一个 .以此类推我们可以得到一个单调递增的子序列。

这个定理的用处蛮大的,一个有趣的应用是证明任何的有界的序列必然有收敛子序列,首先根据这个定义知道一个单调序列,然后这个序列必然有界,于是根据确界原理,这个序列是收敛的。




  

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