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如何证明哈代不等式? 第1页

  

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定理1 (Hardy不等式) 设 则对于 若 则有

证明:首先要用到Young不等式:设 则根据Young不等式可知

令 则

对上式求和得

因此

化简并移项可得

令 即得欲证不等式. QED


当然我相信题主还会积分版本的Hardy不等式感兴趣:

定理2 [Hardy不等式-积分版本] 设 令 则

证明:前面的证明找的是裂项相消, 而这题考虑导数. 让 则与前面定理类似, 考虑

让 即可. QED


相信题主还会感兴趣,能不能把上面积分版本的Hardy不等式条件变弱呢?事实上,可以把 改为 此时不等式依然成立!

定理3 [Hardy不等式 - 积分版本(加强)]设则

证明:请参考:




  

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