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这道极限难题怎么解? 第1页

  

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这个问题和分拆(partition)问题高度相关。

我们考虑把正整数 分成若干个不同的奇数的和的问题,设这种分拆的个数是 ,且补充 则 的母函数是 也就是说,

那么,如何计算 呢?其实,最经典的分拆问题是无限制分拆问题:把 分拆成若干个正整数的和,不计顺序,有多少种分法?设这种分拆的个数是 则有

我们有如下所谓五边形数定理

代入即得 的一个递推公式,因此可以快速求出

由于

也是容易计算的。

要具体知道这个无穷乘积表示的是什么样的函数,我们需要有一些模形式相关的知识。具体来说,若 则

称为Dedekind 函数,它是一个半整权模形式,它的24次方是一个权为12的模形式,称为 函数:

其中 称为Ramanujian 函数。函数 是(除去一个常数系数后)唯一一个权为12的尖形式(cusp form),也是权最小的尖形式,它可以用Eisenstein级数表示为

其中

用以上 函数或 函数不难表示出题目中的极限。




  

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