如何证明下面关于一维开集的问题？ 第1页

我刚刚学这一块，还没接触到连通性。

但我想R上有界开集G与（0，1）等势（存在一个双射f），那么只要证（0，1）区间上可以表示即可。显然有 ,他们互不相交，且为可数个（要求有限个时候把他们的一些并在一起救可以）。这样就表示出来了。

但是这种方法把抽象的问题转化到了具体的例子上，没法给出具体的映射是什么，可能没有连通性证明那么严密。

我们要用道路连通性这个概念。R的子集A称为是道路连通的，如果对任何x,y∈A，存在一个连续映射γ:[0,1]→R，使得γ(0)=x，γ(1)=y，并且im γ含于A。

首先注意到，道路连通的开集是开区间(去证道路连通的U=(inf U, sup U)即可)。

我们定义R的子集A的道路连通分支为A的一个子集S，对任何S含于T含于A，都有T不是道路连通的(即S是A的极大的道路连通子集)。A可以有很多个道路连通分支。

注意一个事实：A的不同道路连通分支两两不交，否则它们的并是比它们更大的道路连通集。

再注意一个事实：对任何x∈A，集合S={z∈A|z到x有道路连接}含于A，而且S是道路连通的。S事实上也是极大的道路连通子集，不然设T含于A比它更大，那么对任何z∈T，x到z有道路连接，这说明z∈S，T含于S。

以上两个事实说明A是A的所有道路连通分支的不交并(注意这里仅要求A是R的子集，没说开)。

现在我们转向开集U，由之前的讨论，U是它的道路连通分支Ui们的不交并。我们的目标是证明Ui们是开区间，这样的话就搞定了。为了证明这件事，我们只需要证明Ui是开的就好了(道路连通的开集是开区间)。为此固定i，取xi∈Ui，取好即固定，记Vi={z∈U|z到xi有道路连接}。Vi是U的道路连通分支，而且Vi和Ui交非空，所以只能Ui=Vi(注意之前的讨论！)。

由Vi的表示，我们可以知道它是开的。因为对任何x∈Vi，存在(a,b)使得x∈(a,b)含于U，显然(a,b)含于Vi(观察Vi的定义)，所以x是Vi的内点。所以Vi是开的。

然后再证Ui们是可数的就好了。从每个Ui里挑一个有理数，这样就得到了{Ui}到Q的单射。#{Ui}≤#Q。