拓扑学能解决哪些分析学无法解决的问题？ 第1页
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考虑如下问题：对于二维可定向闭曲面M，亏格为g，那么M上是否存在一个连续的、没有零点、奇点的向量场？
如果g=1，M是环面，很显然是存在的，考虑在lattice上取一个常向量场，作完商空间后自然是整个环面上的连续非零向量场。
但是对于球面或者多环面（g＞1），是否依然成立呢？答案是否定的。微分拓扑里面的hopf-poincare定理告诉我们，对于一个n维流形上的向量场，所有局部指标加起来等于拓扑指标，也即欧拉示性数χ(M)。当向量场没有零点或奇点时，局部向量场指标处处为0，那么必须只能χ(M)为0了，而对于二维可定向闭曲面，χ(M)＝2-2g，g不为1时都不为0，自然也找不到满足题目要求的向量场。
表面看上去，一个几何体上的连续向量场似乎是和分析更紧密相关的东西，最后的答案却只和某个拓扑不变量有关，不免令人大跌眼镜。
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