拓扑学能解决哪些分析学无法解决的问题？ 第1页
1
banach-50 网友的相关建议:
抛砖引玉一下
考虑如下问题：对于二维可定向闭曲面M，亏格为g，那么M上是否存在一个连续的、没有零点、奇点的向量场？
如果g=1，M是环面，很显然是存在的，考虑在lattice上取一个常向量场，作完商空间后自然是整个环面上的连续非零向量场。
但是对于球面或者多环面（g＞1），是否依然成立呢？答案是否定的。微分拓扑里面的hopf-poincare定理告诉我们，对于一个n维流形上的向量场，所有局部指标加起来等于拓扑指标，也即欧拉示性数χ(M)。当向量场没有零点或奇点时，局部向量场指标处处为0，那么必须只能χ(M)为0了，而对于二维可定向闭曲面，χ(M)＝2-2g，g不为1时都不为0，自然也找不到满足题目要求的向量场。
表面看上去，一个几何体上的连续向量场似乎是和分析更紧密相关的东西，最后的答案却只和某个拓扑不变量有关，不免令人大跌眼镜。
1
相关话题
为什么矩阵行秩等于列秩？数学家如何定义无穷大？有人能在数学上证明无限存在吗？
有哪些没有（或无法）证明却经常被我们使用的结论或定理？
使用微积分能否计算出一个玉米棒上玉米粒的个数？（看问题描述，被怼怕了）?
如何定义或描述数学的全貌？
为什么数学专业书籍经常为黄色封面？
科学领域都有哪些著名的独行侠？
以「不可证伪」批判中医的人，为什么没有以此批判数学？
数学的泛函分析应该怎么学？
数学思维是什么？如何培养？
相关的话题
求解一道关于级数的问题怎么证明？一下几道数学题该如何思考如何计算？
怎么看待「学数学没啥用，买菜难道还用得上微积分」的理论？
关于微积分,牛顿和莱布尼茨的工作各有什么缺陷?
若1+1=2，则雪是白色的，这是真命题吗？
高代，中间这一步是怎么来的呀?
微软的计算器为什么输入 ln 2 是先输入 2 再输入 ln？
什么样的初等函数的不定积分不能用初等函数表示？
有哪些物理系鄙视数学系的经典桥段？
不代入数值怎么证明π<sqrt(2)+sqrt(3)?
一年级的孩子数学考试不读题目了，有没有什么小方法改善？
拓扑学能解决哪些分析学无法解决的问题？
这样的数学归纳法是否成立？
一年级第一次考试语文20，数学40，曾经狠狠得罪过老师，可以进行阴谋论吗？
为什么有的人开始喜欢数学，到了大学就不喜欢了？
法国公立数学计算机毕业后怎么选择?
算子代数是一门怎样的数学分支？学习算子代数需要怎样的基础？
如何计算以下的积分？
如何算出这个求和式子结果等于 (2n)!!/(2n+1)!! ？
有哪些用普通人的知识水平就可以巧妙证明的数学难题？
数学是不是防碍人类理解世界？
两个星期自学完高中数学实际吗？
这个恒等式咋来的？
请问大家怎么看待北大数院（中心）赵强博士（已毕业）的学术水平，但他为何放弃数学研究了？
为什么有人害怕或者不喜欢定体问？
数学界为何走向抽象？
为什么函数的连续点构成可测集？
无理数是否真的存在？
为什么数列可以用不动点法，到底表示什么意思啊？
为什么我觉得这样的同胚根本不存在，可以帮我看一下这个问题吗?