拓扑学能解决哪些分析学无法解决的问题？ 第1页
1
banach-50 网友的相关建议:
抛砖引玉一下
考虑如下问题：对于二维可定向闭曲面M，亏格为g，那么M上是否存在一个连续的、没有零点、奇点的向量场？
如果g=1，M是环面，很显然是存在的，考虑在lattice上取一个常向量场，作完商空间后自然是整个环面上的连续非零向量场。
但是对于球面或者多环面（g＞1），是否依然成立呢？答案是否定的。微分拓扑里面的hopf-poincare定理告诉我们，对于一个n维流形上的向量场，所有局部指标加起来等于拓扑指标，也即欧拉示性数χ(M)。当向量场没有零点或奇点时，局部向量场指标处处为0，那么必须只能χ(M)为0了，而对于二维可定向闭曲面，χ(M)＝2-2g，g不为1时都不为0，自然也找不到满足题目要求的向量场。
表面看上去，一个几何体上的连续向量场似乎是和分析更紧密相关的东西，最后的答案却只和某个拓扑不变量有关，不免令人大跌眼镜。
1
相关话题
孩子的梦想是成为天文学家，怎样帮助他去接近梦想？数学应该如何自学？
0! = 1，1! = 1，怎么解释 1 ≠ 0？
怎样学范畴论？
为什么这个极限题等于0而不是等于1？
怎样学范畴论？
（回答前请阅读描述）吐槽小学数学一边进水一边排水问题的现象到底说明了什么(已更新)？
什么是勾股定理？
一个半径为10的大圆能剪出几个半径为1的小圆？
数学家们用不等式做什么？
相关的话题
蜈蚣博弈（Centipede Game）在现实中都有哪些应用？一堆密堆积的球之间的间隙在一起看起来是什么样子的？
有哪些经典的无解问题？
如何激怒一位数学爱好者？
两幂级数柯西乘积收敛半径大于等于较小者 怎么证明呢？
实变函数，泛函分析，拓扑学中重要的定理概念有哪些？
在一块边长为a的大正方形中，任意地挖掉一块各边平行或垂直于大正方形的边长为a/2的小正方形?
如何阅读Hatcher的代数拓扑？
如何将一张A4纸快速折出完美的五等份？
王茂泽宣称其破解世界著名难题「冰雹猜想」，他的证明正确吗？
有哪些令人为之惊叹的数学题目？
为什么正方体有十一种展开图？
如何看待「艺术的本质是数学」这一观点？
(a+b)!/(a!b!) 的结果一定是整数吗？如果是，如何证明？
有数学问题在哪里请教？
如何定性定量运用数学语言描述修昔底德陷阱？
为什么前人花了大量时间，用他们的聪明才智发现的定理，后人只要花相对很少的时间就能弄明白？
偏序集与完备格？
假设我扔一枚硬币，60次有55次正面朝上，我有多大把握认为这枚硬币正面和反面出现概率不相同？
20.22.25.30.37.（）后边的这个数到底是多少？
若 a=0.248163264128256...，请问 a 是否为有理数？理由是什么？
如何理解代数中的极限和余极限？
地球的圆是什么程度的圆？
为什么 Mathematica 不能显示积分过程，即使它能算出最终结果？
各类科研领域中哪些公式，原理或定律的推出，用到了有趣的思维方式？
从正整数 1~N 中任意取两数 m、n，设 P 为 m/n 可约分的概率，问 N→∞ 时，P为多少？
为什么我用欧拉公式得出了i=0？
物理或化学方程为什么往往是偏微分方程？
被高数虐是一种怎样的体验？
设σ(n)是n的所有正因数之和，如何证明存在无数个正整数n使得σ(n)是完全平方数?