百科问答小站 logo
百科问答小站 font logo



拓扑学能解决哪些分析学无法解决的问题? 第1页

  

user avatar   banach-50 网友的相关建议: 
      

抛砖引玉一下

考虑如下问题:对于二维可定向闭曲面M,亏格为g,那么M上是否存在一个连续的、没有零点、奇点的向量场?

如果g=1,M是环面,很显然是存在的,考虑在lattice上取一个常向量场,作完商空间后自然是整个环面上的连续非零向量场。

但是对于球面或者多环面(g>1),是否依然成立呢?答案是否定的。微分拓扑里面的hopf-poincare定理告诉我们,对于一个n维流形上的向量场,所有局部指标加起来等于拓扑指标,也即欧拉示性数χ(M)。当向量场没有零点或奇点时,局部向量场指标处处为0,那么必须只能χ(M)为0了,而对于二维可定向闭曲面,χ(M)=2-2g,g不为1时都不为0,自然也找不到满足题目要求的向量场。

表面看上去,一个几何体上的连续向量场似乎是和分析更紧密相关的东西,最后的答案却只和某个拓扑不变量有关,不免令人大跌眼镜。




  

相关话题

  为什么数学概念中,将凸起的函数称为凹函数? 
  如何通过很多组相互包含的换算数据求解尽可能精确的换算比例? 
  广义反函数的定义及该定义的相关说明(问题描述)? 
  有哪些比较魔性的函数图象? 
  为什么有的小学语文课文故事不是真的? 
  是否存在一个级数的∑an使得任何其他级数,只要通项大于它的都发散,小于的都收敛? 
  我们生活在三维空间,是偶然还是必然? 
  是否存在某些问题不能用有限步骤解决? 
  怎么证明存在71阶实方阵A,使得它满足下面这个等式呢? 
  高中生对哥德巴赫猜想的证明有哪些错误? 

前一个讨论
微分几何differential geometric中的问题?
下一个讨论
对于数学分析、微分方程、复变、代数学、拓扑学等数学课程你都见过哪些很有自己一派风格而不落俗套的教材?





© 2025-04-02 - tinynew.org. All Rights Reserved.
© 2025-04-02 - tinynew.org. 保留所有权利