n - r = 基础解系的个数，这是为什么？ 第1页

所以该齐次线性方程组的解空间为

也就是说，解空间是系数矩阵行向量张成空间的正交补空间，即

由维数公式

我觉得这个观点很直观，可能我写得太简洁了，我举个例子说明吧。

解方程组：

我们把矩阵视为三个行向量的排列，

原方程组的解空间 是由三个集合的交集所决定的：

我们现在去分析每个 的几何意义是什么。

，内积为零，即两个向量正交。也就是说， 表示的是 中与 垂直的空间（正交补空间，可以证明这是一个线性空间），我们记为 ，故有

在解析几何中，

就表示法向量为 且过原点的平面。单个向量生成的空间维数是 ，平面（正交补空间）的维数是 ，两者之和恰好就是 的维数。即，

这个式子对于高维空间也成立。

如上图，红色向量是 ，红色平面是与之垂直的线性空间，其他向量与平面以此类推。

注意到 （红向量加蓝向量得到绿向量），这三个向量共面——线性相关。这三个向量实际上生成的空间是黄色的平面，它的维数是 ，等价于系数矩阵的秩等于 .

也就是说，我们最后要求的是与平面 正交的空间——刚好就是 轴，正是图片中三个平面相交的直线，即方程组的解 .

我们最后总结一下，

所以该齐次线性方程组的解空间为

也就是说，解空间是系数矩阵行向量张成空间的正交补空间，即

由维数公式 即可知，解空间的维数等于