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所有质数的倒数的平方和的精确值是多少? 第1页

  

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不是所有的级数都有名字,但这个式子有自己的名字,它叫prime zeta function:

( )

就是题主想要的值。

很显然,这货跟Riemann zeta function脱不了干系,它们的关系表现在下面这个定理中:

定理 [1] :对于所有的 ,我们有如下式子成立

.

所以

幸运的是, 的值在1734年就被欧拉解决了[2]:

,

其中 是Bernoulli数。

所以 这是准确值。

另外,根号里有几项长这个样子:

Glaisher写了本书On the Sums of Inverse Powers of the Prime Numbers研究过类似问题,只不过是在1891年。

最后放一张Riemann zeta function的图像~

参考

  1. ^ http://nntdm.net/papers/nntdm-22/NNTDM-22-4-12-15.pdf
  2. ^ http://mat.uab.cat/matmat/PDFv2009/v2009n06.pdf



  

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