将一个大于等于3的数分成三个正整数相加有多少种分法？ 第1页

面向OEIS答题 https://oeis.org/A069905

对于 ，有 种分法，其中 表示四舍五入

现在的解答都非常好，有用容斥原理列出递推式的，有用隔板法再去重的，我这里再来一个方法吧。我的想法非常朴素，就是将拆三数之和转化为拆两数之和。

显然对于 ，拆成两个正整数之和的方法数是 。不过还不够。我们需要更强的结论。

对于 ，将其拆成两个正整数之和 ，且 的方法数记做 ，则

（这个是很容易讨论的，读者可以在纸上画画，这里就不展开了）

设对于 ，将其拆成三个正整数有 种方法。假设这三个正整数中，较小的两个正整数之和为 ，则最大的正整数为 ，此时较小的两个正整数每一个都不能超过 ，因此对应的方法数就是 。遍历每一个 求和，即有：

这里的 可以被分为三部分，对应上面分段式子的三部分： ， ，

1. ，这一部分对应的 ，就不考虑了
2. ，这等价于 ，此时
3. ，这等价于 ，此时

因此 ，进一步整理成

为了计算求和式，鉴于 ，最暴力的方法就是穷举 六种情形把取整号去掉，分别算出结果再合并。对于 的情形，

对于其他情形，可以类似讨论。