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如何证明该级数收敛? 第1页

  

user avatar   yun-hu-bu-xi-10-77 网友的相关建议: 
      

这个问题在MSE上已经有人回答过了math.stackexchange.com/,先用summation by parts化简一下,注意到

记 ,则原式化为 。

上述恒等变形我们通常称作阿贝尔求和(Abel's summation formula): 其中

下面,我们的重点是考察 的渐近形态,首先 会不会是一个有界量呢?很遗憾不是,关于 的无界性,陶哲轩亲自给出过回复,具体参见 sin (k^2)的前n项和有界吗?虽然无界,但是其可以被控制住,这里需要用到exponentiel sum的一个相关理论 weyl sum estimation。


通常 ,我们将形如 称作 Weyl Sum,其中 是一个实系数多项式。

(Weyl inequality for quadratic monomials) 对任意实数 满足 ,其中a为整数,q为自然数,且 。
(关于weyl inequality,可参考math.uga.edu/~lyall/Res

应用weyl's inequality(取 , )

考虑

由weyl's inequality的lemma1:

可得

进一步,

这样, ;另一方面,由比较判别法也很容易得到 收敛。

(事实上,weyl's equidistribution theorem的推论有 ,这篇文章www-personal.umich.edu/有具体的介绍)



更一般的,我们可以考虑高次的情形 ,详见math.stackexchange.com/,作法差不多,也是要用到weyl inequality,只是阶的估计要更精细点。


user avatar   the-areas 网友的相关建议: 
      

我们有
。下面,

,其中 是 与离它最近的整数的距离;此和式还显然小于 。

这样就有 。

考虑 这 个数,则一定有一个长度 的区间包含至少两个数 和 ,因此,如果令 ,我们可以找到正整数 使得 。

注意到如果 ,那么
。所以

对最里面的和式,从每个 减掉一个适当的整数对 没有影响,因此可以把这些 都变成 中的数。如果选出那些非负的,从小到大排序,那么由上面的不等式,第 个 ,所以非负的那些组成的和式
同理,非正的那些组成的和式也不大于这个数,所以整个最里面的和式不超过 。综上,有

到这里我们还需要找到一个 的下界。从 我们有 。在这里我们用一个著名定理[1][2]:存在 使得对任意整数 和充分大的整数 有 。所以对充分大的 有 。记 。

因此 。这就证明了第二个问题。对于第一个问题,

,所以级数收敛。


如果只需要证明第二个问题,那么可以用一个更初等的方法做,不需要引用那个证明很复杂的“著名定理”。然而第二个问题的结论比第一个问题结论弱。我希望第一个问题也可以通过某种技巧用初等方法证明,但我没想出来,就留给别的答主吧。

编辑:第二个问题其实不难,我之前想的方法太复杂。直接用上面的不等式可得 如果 ,那么 ,这样下面的估计可以优化成
,所以
。这样就有
。要让这个充分小,就需要让 充分大。实际上,只要 ,就有 。所以
。然而这个方法仍然证明不了第一个问题,还是因为推不出一个类似 的下界。

参考

  1. ^ 比如 [2] 给出了 M ≤ 42;最新结论是大约 M < 8。
  2. ^ K. Mahler, On the approximation of π, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 56 (1953), 30–42, https://carma.newcastle.edu.au/resources/mahler/docs/119.pdf



  

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