在3位数中找到第一个满足下列要求的正整数n，其各位数字的立方和恰好等于他本身，该怎么做？ 第1页

谢邀，这个问题懒得敲公式，凑合看吧。

设三位数为abc，则a³+b³+c³=100a+10b+c。问题是求最小的满足条件的数，所以先假设a=1。代入得b³+c³=99+10b+c。两边mod 9可得b³+c³≡b+c(mod 9)，即

(b+c)(b²-bc+c²-1)≡0(mod 9)(*)

注意到b²-bc+c²=(b+c)²-3bc，知(*)式括号内两个项不能同时被3整除。所以有两种情况：

(1)9|b+c，且3不整除b²-bc+c²-1。由范围b+c≤18可知b+c=9或者b=c=9。后者验证知不成立。对于前者，只需消去c得到一个关于b的二次方程，它没有整数解。

(2)9|b²-bc+c²-1，且3不整除b+c。

如果b，c中有一个被3整除，则有9|(b+c)²-1，(因为9|3bc)从而9|(b+c+1)(b+c-1)。由于二者不能同时被3整除，故9|b+c±1。同样按照范围讨论即可，得出b=5，c=3。

如果b，c都不被3整除，则它们模3同余(否则3|b+c)。故b,c∈{1,4,7}or{2,5,8}。如果b=c，代入得到2b³=99+11b，故11|b，不可能。从而b≠c。又注意到max{b³,c³}≤b³+c³=99+10b+c<200，故b,c≤5。故{b,c}={1,4}or{2,5}。一一验证，均不对。

所以最小的满足要求的数是153。

PS：这种数有个有趣的名字，水仙花数(narcissistic number)，源于希腊神话中自恋的那喀索斯(narcissus)。