要回答这种开放式问题,就需要模仿传说[1]中拉马努金做数学问题的方式:睡觉的时候,集中注意在眼前的血管——你闭眼看到的不停运动的小点就是红细胞和白细胞[2]——它逐渐组成了一个红色的屏幕[3]。突然,屏幕上出现了印度女神 நாமகிரித்தாயார் 的手,她写下了几个数学算式!
你意识到后天就是2022年第一天了,于是你问她,2022这个数字有什么特别的?她写道:
这么简单好记?这怎么可能,你想。嗯,咱们只是普通人,不是拉马努金,梦见有错的结果正常。稍微算一下, 有 11232 个矩阵,不过她写的不是 ,在整数中应该比这个少很多……
早上起来,你迅速编程序确定这结果是对的!
这女神还是有点厉害的,你想。咱们要不再重复几次,如果成功,为了加快数学的发展,咱们应该组织数学圈子里的人都向这个女神祈祷祈祷,万一哪个人就收到了黎曼猜想的证明呢?
2021年最后一天,你继续做梦。当然,对于长期练习清醒梦的你来说,回到女神身边继续工作并不难。而这次,她给你了更有数学意义的东西:
设 A 为 6 进制下不超过 6 位,各位数字之和为偶数的 7 的倍数的数量,B 为 6 进制下不超过 6 位,各位数字之和为奇数的 7 的倍数的数量,那么 A - B = 2022。
不要着急写程序。红色的屏幕上出现了如下公式。
设 为 进制下不超过 位,各位数字之和是偶数的 的倍数的数量, 为 进制下不超过 位,各位数字之和是奇数的 的倍数的数量,证明:
这东西为什么是整数?你想。
下面她带你来到了三维空间。这是梦境做题的一大好处,没有二维草稿纸的限制,可以直接在三维或更高维的空间写东西。你看到一个 网格的圆环 。
这不难描述,你想。 就是一个顶点集是 ,边集是 的图。
设 为给 染恰好 种颜色,相邻顶点颜色不同的方法数,其中如果两种染色方式可以在环面上平移得到,那么认为它们相同。那么, 。
下面,她写出了 的一般表达式!
请写出并证明 的一般表达式。
很遗憾我们不是拉马努金,我们做数学是必须要证明的,不能拿买不起纸作借口不写证明,让 Bruce C. Berndt、George E. Andrews 等人花三十年帮忙把女神给的几千个结论一一证明。
上面两个贺岁题不是钓鱼题,是高中竞赛知识就可做的。下面这题更难一点,但也是可做的。
2022有如下性质:它的所有素因子的各位数字之和,是它的各位数字之和的3倍。证明:这种数有无穷多个。
这是我看到的最准确的总结。
总的来说,就是中国的高考相对公平,所以性价比极高,所以其他活动都可以适当让步。