十进制有什么优点？为什么世界各地的数学不约而同的选择了十进制？ 第1页

从两个方面来说，第一，十进制并没有什么“优点”，相反，十进制在人类的古代文明中其实处在比较尴尬的位置；第二，十进制在世界上的地位，其实是近代西方科学革命之后才真正确立的。可以说，西方文明用了超过两千年的时间，直到距今不过四五百年前的科学革命时期，才刚刚能够理解十进制。而今天全世界通行的，以十进制和印度-阿拉伯数字为基础的数字表述方式，同样是在西方科学革命后才真正在民众之间普及的。（PS 十进制只是数字的表述方式，与“数学”并没有本质关系，正如选用何单位与物理学定律之间也没有本质关系）

我们首先要知道，科学革命以前的古代人其实并没有形成现代意义的“十进制”意识。本质上说，古代人能够理解并运用基于十的进位，但很难理解基于十的退位，换言之，古代人对于“累积”和“分割”的认识是不一致的。

古人所认识的“累积”，实质是将客观世界中的离散事物与人体上最显眼的数目标记——双手十指对应的过程。而当数目大于十时，古人为每次数十的过程做下记号——有可能是实体的记号，也可能是单纯在语言上做一个标记，比如数完第一次十后，下一个数目不是重新说“一”而是说“十一”。所以，绝大多数人类语言的基础数字词根都是十个，即便对于英语的11和12或法语的奇葩数字表示而言，它们也只有十个数字词根，只是对于大于10的数字有不同的念法而已。

然而，古人认识的“分割”却是截然不同的形式。对古人而言，分割代表对“连续量”（如水、粮食）的操作，这与对“离散量”计数的累积操作有根本的区别。古人最容易操作的分割显然是“半分”，所以绝大多数人类语言中，“半”都是个独立的词，而非从数字2的词根衍生。

但是，如果要让古人统一累积和分割，由于人类对双手十指已经产生了根深蒂固的思维，那就只能将数字10植入分割体系。然而，实现十等分，就必须完成基于质因子5的分割操作，但5是第三个质数，这使得五等分的操作难度要远远高于二等分和三等分（你可以用一张纸来试一下）。对古人而言，2和3的倍数等分——8、12、16、24等，都要比十等分更适合日常使用，这也是世界各地的古代度量衡里很少见到十等分进位的单位的主要原因。

所以，古代是不存在现代的十进制小数观念的。全世界古代文明中，中国古人是最早产生用十进制统一累积和分割的意识的，这得益于中国古人很早发展出了十进制的度量衡系统，并在先秦时发展出了一套逢十分退位的“分厘毫秒忽微”符号。比如今天的教科书说“祖冲之算得圆周率在3.1415926~3.1415927”之间，但中国古人不可能知道这套现代符号。实际上，古书的表述是：

以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒（nǜ，即亏）数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。

这里可以看出，即便是十进制观念比较成熟的中国古人，也依然没有明确的“个位分隔符”，也就是今天的“小数点”观念。这个表述中，一边用数位“亿”做标记，一边又将个位设置在了“三丈一尺四寸”之后。但这样的数字表达形式在同期的全世界已经是最先进的了。

西方世界一直到科学革命前夕的16世纪末期，才由一位荷兰的科学家西蒙·斯蒂文在当时经阿拉伯人传入的印度-阿拉伯数字的基础上，提出了十进制分数退位和个位分隔的概念（见下图）。斯蒂文这套系统和中国古人使用的“分厘毫秒忽微”其实差不多：在个位数字后添加一个带圆圈的0，此后的每一位都在数字后标记①②③等。直到17世纪初纳皮尔编制对数表时，现代的小数点和小数表示法才得以确立，真正意义上的“十进制”也才成型（所以“小数”在西方就是“decimal”，也就是“十进制”的同一个词）。

不过，虽然欧洲人接受了数字的十进制表示法，但十进制在真正意义上的确立，还要等到18世纪末法国大革命时期公制的提出。度量衡系统就是古代“累积和分割不统一”的最直接体现。度量衡的本质就是对连续的量进行定量化，而只要牵涉连续量，就势必要进行对单位基准进行分割，对古人而言，这就要求制造出能够精确等分的量具、砝码，所以，古代各文明的度量衡系统都并不倾向于十等分。

而法国人提出的改良度量衡系统，一开始的目的其实仅仅是引进一套基于“十等分”设计的单位换算体系，所以，最初的公制其实只有deci、centi、mili这三个词头，而这三者就是拉丁语前缀的十、百、千，法国科学院将其规定为十分、百分、千分的词头。同时，法国科学院引进了两个重量单位“grave”和“gravet”，“grave”本指拉丁文的“重”，这是按当时欧洲学界的习惯最自然的命名方式。其中，规定“grave”是“1立方分米水的重量”，“gravet”则等于“miligrave”，即“grave”的千分之一。而“gravet”以下还可以分成decigravet、centigravet、miligravet。

但你会说，现在公制的质量单位明明是“kilogramme”和“gramme”啊（此处使用法语拼法）。不过你是否想过，为什么用作质量单位基准的是国际“千克”原器？为什么不直接把这个最接近人民群众生活的质量单位命名为“gramme”？或者为何不直接称为“grave”？实际上，“kilo”这个词头是后来才提出的，而且早期也没有“kilometre”，而是称为“millaire”。（作为拉丁系语言，法语本来就不用k这个字母）

公制颁布后，法国人才觉得：一套词头不应在同一性质的单位中重复使用。于是找来了希腊语前缀的十、百、千：deca、hecta、kilo，并规定同一性质的单位只能有一个基准名称。为了与原单位区别，他们重新命名了质量单位“gramme”（本来是指中世纪时一种重量与这一量级接近的物体）。但为什么不继续使用“grave”？因为当时的单位分割系统只能分到“mili”（“micro”是半个世纪后才引进的），即千分一级。如果继续用处于接近日常生活的“1立方分米水的重量”的“grave”这一量级，现在的“克”就是“miligrave”，但再小的质量呢？彼时以拉瓦锡为代表的化学工作者早已可以精确地测定比“miligrave”小得多的量级。对于更大的质量，欧洲国家本就有一个现成的单位“tonne”（吨），本来是指葡萄酒桶的重量。所以，法国学界最终重新命名了质量单位“gramme”，并将质量单位体系确立为吨—千克—克。随着“kilo”和“mili”两套词头的定型，“累积”和“分割”在整个人类计量体系中的十进制化才终于实现了最终的统一。

总之，十进制在人类社会中最终确立，其实是很晚的事情，而且直到近代科学革命之后才真正成型。但从另一方面来说，正因为十进制并不是个自然的进位制，使得人类耗费数千年才终于将“累积”和“分割”统一，这在今人看来，似乎是件很不可思议的事情。但即便如此，时间、角度等前十进制时代孑遗，依然残留在现代人的日常生活中，使得我们无法简单地计算出：一个用“2小时10分28秒95”跑完马拉松“42195米”的运动员的平均速度是多少“km/h”？

=================================

参考阅读

中文在数学表达上是否处于劣势？

为什么人类可以长期使用不同数位进制，而丝毫不显得凌乱，还切换自如 ？

=================================

最后，本文的话题也收录在我的新书《计量单位进化史》中，这本书里还有更多关于人类计量史的冷知识和趣味故事。本书目前已在线上和线下全面上架，欢迎大家前往购买。

---

  ban-zhi-lian-88 网友的相关建议: 
      

高赞 @宋宁世 回答可能有误导，花点时间解释一下…… 高赞一方面混淆了度量衡測定與換算，另一方面关于中算史的文献了解缺乏，只看到片面的文献记载就下臆断，使得相关内容有很多错漏。其实中国古算早就有十进位值制，正负数，占位符0及十进制小數表示，这种形式主要在算书中记载而非史传。本答顺带中普一下相关数学史，所以较长，更精简的类似回答参考

十进位值制的发现与推广也和西方没什麽关係，按其说法好像中国排在世界之外一样，西方文明也不知道怎麽算的超过两千年，当然也可能有人认为除了中国都算西方…… 引一个知友相关评论

有些答主比较有意思，把苏美尔、印度、埃及、希腊、罗马、阿拉伯、近代欧洲都划到“西方”这个大篓子里，然后说“西方”的科学有着科学、连续的发展进程，所以自古就有科学。。。
只要划得范围够大，你的发展就有科学连续性，我相信这一标准下“西方”的化学、生物学、天文学等等发展路径也是理性而连贯的。毕竟这么个大篓子差不多把全人类的古文明装进去大半了……

下面截图的十进制换成厕所只针对西方老百姓来说更合适。欧洲的卫生管理排污系统确实是近代才开始改善，随便搜搜就清楚了，也可参考注4给的最后链接，绝对让人大跌眼镜。

再给问题截个图别改成不是数制的十进制一类来转移问题，看清楚题主问的是各地数学不约而同，不是說各地生活各方面用的進制，很多答主舉時間重量等等應用場景其实主要涉及的只是单位測定与换算，數學理论所用进位制更大程度是一种记数并需要合適的符号记忆量与運算效率（否定太高位）及書寫效率（否定太低位），还有分解简化表达能力（否定单质因子数），有賴理論研究的推動，而不僅僅是生活需要，後者只是數學的一類應用，僅涉及簡單的换算或四則運算，各種進制當然都可以並存以适合应用问题，但數學研究中肯定是十進位制為主流，也不僅僅是由于10个手指。还有人评论说题主与高赞答的十进制和这不是一回事，不知道不是数学的十进制是什么东西……

很多答主特別是高讚都把現實进制與數學需要的混淆了，前者涉及的单位测定是物理问题，生活中相关进制是由问题特征，认识局限与测定技术多方面决定的，因此各地初期并非都是相同进制，即使现在不同场景也是不同进制，而单位换算在确定单位和进制後等效于数位换算。

另外还有基于素数进制的p-adic 相关理论，都主要是數學需要，不过这是另一个话题。中国古算很早熟悉并研究的是十进位制与二进位制数学，前者主要用于一般的算法问题，後者主要是周易相关理论涉及。中国的二进制数学同时引起斐波那契数列，黄金分割率，线性递归数列及一些组合学的研究，据美国伯克利的Cook教授研究发现最迟公元前一千多年就已经有明确的中国古籍文献证据，远早于同类结果的西方数学史认识。这里主要中普十进制相关中算史，二进制方面有空另谈，不知道有多少人感兴趣（可以留言看看人数）。

对于本题的一句话回答: 十進制的基本優點是聯繫手指數直觀，易于日常生活運用，但十进位值制在数学中主流地位的确立却是源于中国古算的算筹范式与理论研究（算筹形式，書寫效率，乘法表大小适中，分解表达多样性等），世界各地開始並非不約而同選擇十進制，而是中國發現並最早熟練使用後，国力强盛时文化輸出到世界各地才促進了後世的普及與數學發展。

很多人如高赞观点认为数学与进位制没有本质关系，这是一句正确的废话，对数学更深入了解就会清楚十进制相对其他进制在数学理论研究与表达中有不可替代的优势，打个比方，如同直角坐标系对几何理论的基础作用，微分流形的内蕴性质确实是坐标无关，然而人类要更清楚认识或更容易计算，选择适当的坐标系相当重要。不說这么专业，中学解析几何选对坐标系选择或坐标系变换就是解决某些计算问题的关键。

再具体比较一下十进位值制与其他进制，先通过书写效率和乘法表大小（适合人类纸上运算理解与表达）排除过大或过小的进位制，差不多留下的就只有 7 8 9 10 11 12 13进制。注意7 8 9 11 13 只含一个质因子，10 12含两个质因子，用于分数表示时，後两数显然能精确表示更多类型如10进制对单位1的2的N次方等分，5的N次方等分，以及2的M次方等分乘以5的N次方等分，都能精确表示，含更多质因数也更方便分数化简或简单分配。因此综合下来，10和12进制是数学运算分析及表达需要的最佳进位制，事实上也是人类日常生活应用最多的两种进位制，中国上古有十月历後才演变成十二月，一天十二时辰，一打十二个，干支历干脆就兼顾两大进制，取了十与十二的最小公倍数六十，时分秒也是六十进制的应用表示。

最终决定数学理论以十进制为主流记数形式的应该就是人的十个手指头，使得兼顾日常生活的运算直观性与教学传播的方便性。换句话说十个手指确实也起到了筛选作用，不过没很多人想象的那么大，如很多人认为的指头数完全决定进位制。如果人有18个手指头，也不会用18进制而是十或十二进制。

当然非人类运算理解的场合如机器，电子信息技术则更多会用2 8 16 进制。注意虽然人都是十个手指头，日常运用并非都是十进制，古文明也并非都十进制喔，古巴比伦60进制不适合人类记忆和数学复杂一点的运算表达故後面淘汰，但也反映了10与12的特殊性，古埃及有10进制却没发展出位值制，後面受其影响的希腊罗马古印度都是没有位值制的十进制，只有中国发展了适合数学的十进位值制及更深刻的二进制。

---

习惯太长不看的话，回答到这就可以结束了。想了解更多数学史和背景的继续:

這種數學史上已經比較清楚的問題了，轉一些相關資料參考包括數學史論文，同時給一些補充說明和評註，特別是文末注介紹的古算無理數開方不盡數的算法構造討論，已經明確顯示了中國很早就熟練掌握了十進制的各種性質，進退分解，分數小數形式等等。

在算筹盘上，以空位表示0，在文本笔算上用缺字符口表示0，後因为毛笔方便演化成〇字，所以0这种占位符在筹算中无论工具还是算草中都很早发明引入使用，并非高赞看到个别文字记载就臆断无相关符号。

數學史論文中提到了很早中國古算既有等效小數點的符號作分割，也有比小數點的方法更簡潔的表示。注文還討論了0，線性代數，正负术，開方术，導數的中國起源。

顺便提一個，明朝朱載堉用自制横跨81档的特大算盘，进行开平方、开立方的计算，如开十二次方确定十二等程律的历史可以自己搜搜，其成就介绍参考注4，顺便提了点对李约瑟之问的答案。简单说，就是把2个do之间平均分了12份，每份就是1个半音，这些音并不是凭空哼出来的，而是真的用算盘计算出来的，

每个音的频率为前一个音的2开12次方，即1.059463094359295倍。这种研究哪来日常需要的推动，又哪来西方文明带去的普及，反过来还差不多，沒有十二等程律就沒有鋼琴。德国物理学家赫尔姆霍茨说过：“在中国人中，据说有一个王子叫载堉的，他在旧派音乐家的大反对中，倡导七声音阶。把八度分成十二个半音以及变调的方法，也是这个有天才和技巧的国家发明的。”可以搜一下明朝時期及其後歐洲的中國風歷史，那時歐洲主要國家的中化程度上貴下民比近代中國的西化有過之而無不及參考注4中鏈接。

中国古算源于实践，同时也有自身纯理论兴趣的推动，一些问题表面看相关术语是应用范畴，实际却是高度理论化的研究，一些古算專著也是邏輯演繹的理論方式編撰論述並非九章算題集模式。這些或許与很多人道听途说的印象不一样，这种发展更符合正常历史。

高讚非要把數學十進制運算與現代度量衡單位制定混在一起，來宣傳西方科學近代才帶來了十進制的普及，不知道是真不懂還是只為了推銷自己的書，賣書沒問題，科普別夾帶私貨或混淆概念誤導大家應該是底線。其答案还表明其数学史文献掌握不足，相关理解也多错误包括他重复回答的几个类似问题都出现同样错误，结果还被赠与几个专业徽章，评论还尽称专业……看来知乎快逼近百度水平了，相关纠正我下面简单提下并贴了相关三十几年前的数学史论文截图参考。高赞以為的进位制与分配制区分也是不对的，他实际混淆了理论与实际应用，其认为的无限进位特性也在中国很早的文献就同样表示过，可参考该论文。

1439年夏源泽撰写的《指明算法》中的铺地锦歌為一種乘法寫算法的記載：

写算铺地锦为奇，不用算盘数可知。
法实相呼小九数，格行写数莫差池。
记零十进于前位，逐位数数亦如之。
照式画图代乘法，厘毫丝忽不须疑。

算法本身應該早已存在，尤其适合多单位十进制乘法计算。這種筆算法通过乘法分配律可以把复杂的多位值的乘法计算简化为个位数乘法和简单的加法计算，而九九表的普及使得个位数乘法对中国人来说尤其容易。舉例其中一道题如下：

题：“今有米二十四石，每石该银六钱五分四厘，问该银若干？”

答：“答曰：该银一十五两六钱九分六厘。”

法：“法曰：先画格眼图，置米二十四石，填于图上横写为实。再将价六钱五分四厘填于图右外直写为法。法实相呼，填写格内。先从末行起依次相乘至实首位止，得数从右边下角数起，照斜格计数，就书于图下，挨次向前合问。”

注意歌诀中的“实”和“法”在乘法中即被乘数和乘数，而在除法中相应的就是被除数和除数。所以中算裡實法概念應該是數學運算的一種抽象表示，類似群的作用相關認識。中算常見的“实如法而一“，即是”以法量实“，”实“中有一个等于“法”的量，所得即是一，“实“中有几个法，所得即是几。这个“实”，是货物总量的时候，就用乘法，是被乘数；而题中给定钱财总量的时候，就用除法，是被除数。而“法”始终不变，即是单位尺度，衡量财货的标准。

之所以提這個算法，也是因為有類似高讚的誤導數學史宣傳，如1978年科学出版社出版的李约瑟《中国科技史》第三卷：“起源于印度或阿拉伯的格子乘法（Gelosia），在《算法统宗》（1593年，按当为1592年）以前，从未在中国的著作中出现过，它在《算法统宗》中被称为‘因乘图’或‘铺地锦’”。其實這裡李約瑟也犯了高讚的錯誤即沒有了解足夠的中國古算文獻就下臆斷，但李畢竟是一個外國人。其實所謂的印度或阿拉伯格子乘法沒有更早確切的文獻記錄與考古證據，根據中算傳統及傳播史，更大可能是中國早有的鋪地錦算法傳播過去而非其獨立發現的。1993年7月，李培业教授在《数学史研究》第四集发表《程大位〈算法统宗〉中的笔算》一文，也认为“‘铺地锦’绝非译名。是我国自创，不是从国外传入的。” 關於格子乘法的维基百科：

印度数学史家Datta和Singh认为不能确定格子乘法起源于印度或是舶来品；格子乘法最早见于印度一部1545年的数学著作。

所以結果不言而明，還可參考後面對歸屬權判定的基本原則及注9。

所以十進位值制發展史及相關算法口訣等等确实是早已清楚的问题，稍微熟悉点中国数学史的人都应该知道，可惜很多人如高赞答主估计只看西方数学史为主的资料而这种书或媒体往往对中数史所知肤浅或带有偏见，可见高赞卖的书基于其回答，内容正确性也堪忧…… 当然对事不对人，高赞答主如能看到此答而作相应纠正或聲明，补充更完备的中国数学史资料讓更多人正確認識歷史，还是很好的科普，也希望更多人分享本答以尽量减小其误导影响。

我国数学家兼通中国数学史的吴文俊院士认为10进制位值制计数法可以和四大发明相提并论。他的原话是：

“中国劳动人民，在长期实践过程中，创造与发展了记数、分数、小数、正负数以及无限逼近任一实数的方法，实质上达到了整个实数系统的完成。特别是自古就有了完美的10进位位值制的计数法。这是中国的独特创造，是世界其他古代民族都没有的。这一创造对世界文化贡献之大，如果不能与火的发明相比，也是可以与火药、指南针、印刷术一类发明相媲美的”

吴文俊（1919年5月12日-2017年5月7日），著名数学家，中国数学机械化研究的创始人之一，为拓扑学做了奠基性的工作，他的示性类和示嵌类研究被国际数学界称为“吴公式”、“吴示性类”、“吴示嵌类”，至今仍被广泛引用。2006年获邵逸夫奖数学科学奖。吴老的贡献不仅在西数，更是中算特色的数学体系复兴与发展的前号。他主编的《中国数学史大系》可以作为了解中算的入口。

更新: 好吧，知乎的纠错能力已经不抱希望了，高赞错误答案还拿了奖，看来评奖机构也够权威，论文文献记载证据打脸的答案也能上……

---

于公元前11—前6世纪的《诗经》中数字研究:一至九的数在104首诗篇中出现264次:数位字在殷商时代十、百、千、万的基础上,又出现“亿”、“秭”,这六个数位字在67首诗篇中出现155次,其中数位字“十”在9首诗篇中出现17次。唐代学者孔颖达在《诗经正义》指出,“亿之数有大小二法:其小数以十为等,十万为亿,十亿为兆也；其大数以万为等,万至万是万万为亿,又从数亿至万亿为兆,亿亿曰秭”。可见无论是大法、小法都是十进位制；《诗经·豳风·七月》篇则是世界上最早的数字化诗篇,它用一至十的数字科学地表达了一年每一个月的农事和物候,复旦大学教授、《诗经》研究家陈子展认为该诗篇成于周初(公元前11世纪),但反映的内容是周民族形成早期——先周公刘时代即公元前17世纪晚期的事,因此早在公元前17世纪(距今约3700年)中国已有相当完善的十进位计数法。

　　据《中国大百科全书·考古学》载,安阳殷墟出土了商代的骨尺和牙尺,尺面上有相当于“寸”、“分”的刻度表示,它们都是十进位的,说明当时十进位制记数法与社会生活有着密切的联系:一方面,由于社会生活需要提高度量衡的精度,要求不断划小度量衡的单位，從而促進了等效現代小數的十進位記數法產生見注中的數學史論文; 另一方面, 它简便适用, 在实际生活中得到广泛应用。

　　在公元前30年前后的《墨经》中,《墨子·经下》有“一少于二而多于五,说在建位”的记载。显而易见,此处所讲的内容是和十进位制记数法有关。而十进制记数法过渡到十进位值制记法与筹算的创立有着密切的关系。《孙子算经》说：“凡算之法，先识其位。”开方术中先要确定商的位数。刘徽注《九章算术》开立方术说：“且置一算定其位。” “夏侯阳算经”卷上在叙述度量衡后又记着：“十乘加一等，百乘加二等，千乘加三等，万乘加四等；十除退一等，百除退二等，千除退三等，万除退四等。”这种以十的方幂来表示位率无疑是中国最早发现的。

正因為古算認識到了位值制與小數點的相對屬性，才會靈活換算单位，让数值从小數到整數表示更易算和理解，如祖沖之為連續表示七位小數連整數共八位，則設圓徑一億為一丈以實現整數化換算，而丈後即用小數位值名來表示。要糾正高讚及給其點讚人的誤解，需先搞清楚数与量的区别，这里简单说一下。

“量”和“数”不同，量涉及的行为是度量而不僅是算数。一個物理量由數值與單位構成，度量某一个物理量，需要以一定方式将该量与一个取作单位的同类量相比较。如在力学问题中常采用cm、g、s分别作为度量长度量、质量量和时间量的单位，并称为物理单位制。单位是表征一个量大小或数量的人为标准，广义上包含有量纲单位与无量纲单位，前者即是通常的单位与物理有关，後者就是特定进位制下的数位, 十进制中如个十百千万，与数学有关。量纲是表征物理量的性质（类别），如时间T、长度L、质量M等，与数值无关。量纲分析时也可定义无量纲单位的量纲为1。

有量纲单位一般都包含数位，如取1千米作长度单位，千又是数值单位即数位，数由数值和数位表示，如50万即500000（个），个一般省略如1千米即1000米。单位换算一般归为数位换算，属于进位制的简单运算和应用表示，与单位测定区分开，後者是物理，前者只是数学性质。

进位制包含进制与位制定义，先看看只有十进制没有位值制的例子:

古埃及人使用十进制，还以符号来代表「数字单位」：

1 是线条 10 是牛轭100 是卷绳

1,000 是莲花 10,000 是手指

100,000 是蝌蚪或青蛙

1,000,000 则是神祗『胡』(Huh)

『胡』是「无限之神」，可见百万对于古埃及人已是天文数字。埃及数字十以内全是1符号的叠加，逢十则变符号即进位记数，但按高赞观点古埃及人这个也不算十进制了，因为没有无限扩展和每个数字专属符号，同样即使中国算筹十进位值制前几个数也是一的叠加表示没有专属符号…… 如按此答主定义，那与所有数学史或数学家的定义都不一样了，只能说是此答主混淆了数学与现实，自行定义了其个人观点的进位制再来否定数学史上的定义，从而只认为现在阿拉伯数字表示的十进制才是十进制，估计也只有他个人这么认为吧，可惜还误导不少人……

高赞答主对所谓分割与进位制的区分是错误的，进位制的理解也是片面的。进位制的基本定义只需要

1 进制: 多少数後改用新符号或名称，整体表示进一位且更大数将由新符号与旧符号一起表示直到再进位。十进制就是说十个数後用新符号表示十，而前面这十个数只需要能区分表达就行，不需要专属符号表示，古埃及用一的符号通过叠加表示1-9，中国算筹显然更简洁，对比一下个位数字符号，实质用到了二维特征，类似会意造字，比古埃及个位符号只用到一维叠加更简单便捷，同时又结合了一维特性如适当的叠加，比阿拉伯数字更形象易懂。注意下图算筹的数字表示可看做十进制的二维表示法（多位数时奇位纵偶位横式），与现在阿拉伯数字的一维表示不同，比如横式的纵向采用了五进制变体，逢五横则竖进一位，更大数由进位数与小于五的数表示，横向即十进位值制（这种内嵌其他进制的方式也用于现在时分秒六十进制）。

2 位制: 位值制即赋予基本数字不仅有大小多少的信息，还有位置数位的信息。同一个数不同位置表达不同的大小，这样就极大节省空间与符号数，对後面高效率运算有决定作用。古埃及表示中每个数位的符号都不同且都按一维特性叠加表示大小，类似把中算数字 三五二五 表示为 千千千百百百百百十十五 ，显然更低效。

注意实际运用一般只需定义进位规则与有限的位值名即可，无限进位是默认特征，只在理论分析计算时才需要，进位制最简单的应用形式只需定义两个数位及其换算即进位数值则可（高赞认为这不是进位制只是等分的观念实际是没搞清楚数学与现实应用的区别，正如几何的点线面现实也不可能存在但不能说现实没有几何图形），所以类似古埃及的就是十进制但没位值制，通常计时的一小时六十分，一分六十秒这种也是数学六十进位制的应用表示，尽管其通常的阿拉伯数字计数仍然是十进制形式，类似中国算筹表示，也是部分采用了一符的叠加能区分不同数即可，而这里30秒要么看做是表示30的独立符号，作为一个整体与其他60进制的数字符号区别，而不需理解为10进制的30，後者无非方便熟悉10进制的人联系记忆该符号的数值而已，要么可以看做类似算筹的正交方向十进制变体。这里时间单位等效于六十进制的数位，1时5分6秒理论上可以记为156（60进制）但容易与10进制表示混淆故实践中加上数位名区分，理论上也可定义60天为一个新数位等等无限上下延伸，但因为实践没必要就不会多此一举。

進位制涉及的是數的運算，與物理量即日常的度量衡测定要区别开，後者涉及特定问题中单位的选择与实际需要如分割分配的便捷，因此可以存在不同进位制的应用表示，而日常基本操作相关的是简单的算术问题从而不同情况选择更合适的就好，但数学不仅仅是算术。数学笔算及理论研究表达需要涉及的进位制特点如前所述是一种记数并需要合適的符号记忆量与運算效率（否定太高位）及書寫效率（否定太低位），还有分解简化表达能力（否定单质因子数），有賴理論研究的推動如开方不尽数的逼近。

中国古代的常用数位定义为

万千百十个分厘毫丝忽微纤沙尘埃……

上述数位之间皆定义为十进制即1万为10千为100百为1000十为10000（个）为100000分等等。中国古代的小数位名又部分用于长度单位，货币单位，时间单位，类似于字的引申义。这是容易混淆的地方。注意古籍祖冲之圆周率的记录实际为长度单位而非数位，同时沿用了刘徽注九章的秒为十分之一毫而非後世更常用的丝，而秒一般用于时间单位，1分为60秒。我国传统的长度单位有寸尺丈等代替大数位个十百而小数位名不变，和现在米之间的换算关系为：

1米＝0.3丈=3尺＝30寸＝300分……

现代一般不用尺寸丈单位，都以米加相应数位为单位，1米=10分米=100厘米=1000毫米…… 这里的分厘毫就只是数位名不为长度单位。

設圓徑一億為一丈這句話其实是定义了一个长度单位换算，相當於說設單位微，一亿微为一丈，也正是說明了後面就是以丈為整數小數的分界，沒必要再用小數點了，高讚完全沒有理解前設一丈的含義就是區別通常以分厘為小數的用法，祖沖之的描述等效于設圓徑一丈，則圓周在3.1415927丈與3.1415926丈之間，無非用中文將每個小數位名點出，更清楚和利於實踐理解。設一丈為一億（微），即表示可另選更小單位微使得数值为整数，这倒有点像浮点数。數位命名中文或中國數學相對西方精確先進不少，比較可參考注1中鏈接介紹或注6。

退位更詳細解釋參考注1九章算术刘徽注對無理數的逼近討論。刘徽注时采取的是十进分数形式分析等效十进小数，後人如孙子算经（成书下限约公元400年），特别是秦九韶著作已经普遍使用真正的十进小数制形式，参考注6数学史论文介绍（高赞基本没掌握类似数学史资料就臆想理解传播历史，类似对中国数学史偏见的人网上太多，这也是中普的意义），在整数与小数间要么用特定字分开，要么用小字体书写小数，而且明确定义了小数部分的特有名称如收数，省数等等，特定字完全等效小数点的功能。小數這個名稱也是元代朱世杰提出（公元13世紀），並采取低格書寫的方式與整數分割表示。從等效小數的劉徽微數開始作為文獻明確記載的時間下限，中國古算對十進制小數就已經熟練掌握與普及了。

注意中文的字与拼音文字的字本质不同，前者可以是语言记录也可完全是抽象表意符号如一二三，後者则基本是口语记录如one two three，所以中文做小数点的特定字类似中文的量词不过是抽象符号如小数点的不同语境体现，类似英语a,an，one 在中文却是一条，一个，一只，一艘等等，抽象小数点形式简洁利于笔算确实是优点但中文小数点字更形象生动利于实际理解与口语表达也可作抽象符号分割整数与小數部分。近代数学强调抽象而其基于的拼音文字匮乏描述才使得没有合适的数位命名小数各位，只能用抽象的阿拉伯数字序列表示。如果非要以現代小數點阿拉伯数字形式記錄才叫懂十進制的話，那和朝三暮四的猴子沒有區別了……

　　数字的发展必然有计算, 初期计算或与生活日常工作相关，但发展到一定阶段就自然会有抽象与理论特征。高赞答主和其他很多答主都简单的把十个指头与日常简单的累积分割实践与数学概念混淆。认为古人实践活动限制了其数学水平包括这里的十进制理解能力，尤其以為中国古算都是应用题一类没有抽象演绎理论，这些都属于常人对中国数学史不够了解的偏见。实际上很早的时候中国古算已经开始理论的深入研究，虽然确实有实际需要的推动如天文历算，但作为理论同时有自身内在的逻辑发展，如开方不尽数的十进分数逼近算法与误差判定等等，而这种理论才促进了十进制相关数学更多性质的理解与熟练运用， 而非高赞等人以為的十个手指或日常生活需要来理解，否则世界各地早期各种记数进制五花八门但都是十个手指与相近生活需要就没法解释。十进制的突出与发展基本上依赖中国古算尤其是基于算筹的计算体系才真正完善与熟练运用起来。

---

再介绍一下中国算筹:

计算就需要某种方法和工具。算筹一般是用小竹棍(或其他材料制成的棍),后来也称算子。筹算是一种用算筹进行计算, 筹算起源于何时,无法确定,但可以肯定它是起源很早,至迟到春秋战国时(约公元前300年)人们已经能熟练地运用算筹进行计算。筹算作为中国古代的计算工具,是中国古代数学对人类文明的特殊贡献。它与十进位值制记数法相结合,形成了我国独具特色的算法化的数学体系。十进位制算筹记数法是中国古代数学的一项独特的创造。

周朝用木枝制成算筹，汉代用竹、骨、象牙、玉石、铁等材料制作，长一般在12厘米左右，直径为2至4毫米。最初的算筹的截面是圆形的，后来变成三角、四角形。日本算家所用算筹，少用竹制，多用小木片制作，因此称为“算木”，长者叫策，短者叫筹。

正负数表示:

魏刘徽注《九章算术》称：“正算赤，负算黑”《梦溪笔谈》卷八称：“算法用赤筹、黑筹，以别正负之数”，“运筹如飞，人眼不能逐”。

在算筹盘上，以空位表示0。为了不使数字和数位混淆，算筹采用纵式和横式两种方法记数。 中国古代算筹记数，采用十进位制，个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式……这样纵横交替摆放，就可以摆出任意大的数字来了。孙子算经记载：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，百万相当，此外又说明用空位表示零。在进行乘法时，“言十即过，不满自如”，即“逢十进一”。

古文以前是在竹简上写才右到左，算筹按算法习惯直接在平面二维排列运算所以从左到右排高到低。用算筹进行乘法计算，先摆乘数于上，再摆被乘数于下，并使上数的首位与下数的末位对齐，按从左到右的顺序用上数首位乘下数各位，把乘得的积摆在上下两数中间，然后将上数的首位去掉、下数向右移动一位，再以上数第二位乘下数各位，加入中间的乘积，并去掉上数第二位。直到上数各位用完，中间的数便是结果。

算草用抽象符号如

南宋数学家书写算草为减少笔划，将4、5、9的筹码简化，作为专属数学的抽象符号类似现代阿拉伯数字:

代数表示

一直到十五世纪中叶珠算产生之前,筹算是中国古代数学的主要计算工具,它也是中国古代数学的一大特色,中国古代数学正是在筹算基础上发展起来的以构造证明与机械算法为特征的数学，与西方近代以笔算基础上发展起来的形式证明与形式逻辑为特征的数学相互独立，互为补充均为世界传统主流数学，而且其意义也将被越来越重视，只有两种都清楚的数学家如吴文俊一类才能更客观评价两种数学的关系，有兴趣可以搜搜其科普文章参考，而不是只看西方数学史介绍形成对中国数学的偏见。

注意西方笔算之所以发达起来很大一个因素是在于中国造纸术与印刷术的传入，西方相关成就或文献的出现也紧随其后，没有便宜的纸张普及与书籍基本不可能有记载大量笔算与证明的学科出现，用技术发展观参考可以初步判断一些历史的真伪。中國古算都術原理的等效公理化演繹體系可見我其他相關回答，初步介紹及籌筆算比較可見注8。

相关考古证据说明公元前三百多年及更早时期，中国古算的《算表》不仅可以将复杂的乘法转变为简单的加法，还可用于除法运算和开方运算，完全可以穿越几千年仍然用于现代小学生的数学特别是计算入门，比通常的小九九或乘法表应用更广泛深入。

《算表》的表格里写有数字，数字的写法与当代的写法有所不同，如“30”，就有“卅”和“三十”两种表达方式。该数字构成的表格，用的是十进制，利用乘法交换律原理，能够快速计算100以内的两个任意整数的乘积，还能够计算包含特殊分数“半”的两位数乘法。……
《算表》呈表格形态，核心部分是由“九”至“一”及其乘积“八十一”至“一”构成的九九乘法表，扩展部分一端为“半”与“半”的乘积“锱”（四分之一）；另一端为被乘数及乘数分别扩大至十倍，也就是最大为“九十”与“九十”的乘积“八千一百”。可以通过丝线交叉、运用交换律将两位数乘法转换为四个交叉点数字相加，实现快捷运算。

某些人非到处宣传直到近代西方科学才让人理解十进制运算与普及，是当这些考古证据为基础的历史是空气么…… 更多参考

《易经》中更有“万有一千五百二十”这样的记载。甲骨文的计数方式一直延续到现代。现代中国数字一二三四五六七八九○,在唐代以前就已经形成,唐代还全面使用了大写数字壹贰叁肆伍陆柒捌玖零,用在比较正规的场合,又叫做“官文书数字”。在确立了十进位制之后,古代中国还对数的概念进行了扩展, 创造出了分数、小数、负数，〇的概念, 虽然現代形式的分数线、小数点、负号不是中国的发明, 但是对数的性质的认识, 等效形式的使用，对数的概念的拓展都是古代中国的创造。不能說傳過去印度阿拉伯人套個皮換個本地化的形式就表示其有归属权，众所周知流传名字命名的东西很多都不是其真正发明人，如毕达哥拉斯定理，洛必塔法则等等，更多例子留给评论补充。

在判定归属权时，应该遵循两个基本判据: 一是发现时间先後，二是交流沟通时间。如果一方根据文献及考古证据表明早于另一方发现及熟练使用，且与另一方充分交流时间早于另一方类似发现记载的文献考古证据，那么可以判定後者是受前者影响才形成，即使有所形式改变或表达有一定改进，只要内容实质一样那就应判定前者具有发现归属权，後者当然也有传播贡献。这点是後面中印及阿拉伯的十进制传播史的判定依据。

　　李约瑟教授指出:“在西方后来所习见的‘印度数值’的背后,位值制早已在中国存在两千年。”

中国发明的十进位制在对外交往中,东传韩国、日本,南传越南等东南亚国家；丝绸之路开通后,又传南亚、中亚等国。古代印度于公元7世纪左右才受中國影響系统改用十进位值制, 在8世纪传至古代阿拉伯,9世纪由古代阿拉伯再传至欧洲,15世纪末、16世纪早期由欧洲传至美洲,以后又传入非洲、大洋洲。因此,在欧美把十进位制称为印度—阿拉伯数系或阿拉伯数系,《大英百科全书》(又称《不列颠百科全书》)等书籍至今这样称呼。这是有失公道的,因为最早发明，普及使用，傳播輸出十进位制的都是中国。（各位答主尤其高讚請不要再只看某些西方數學史來以訛傳訛，學習了解別人沒問題，多參考最新考古證據與數學史論文，保持獨立思考別被洗腦就好）

　　十进位制记数法西传欧洲,又传美洲、大洋洲、非洲,由于它较其他记数法实用、好用（书写效率及日常运算速度）且便于高速计算、复杂计算,很快风靡全球,取代其他记数法,成为当今世界各国、各地区、各民族所公认的标准记数法；十进位制记数法的西传,使短于计算的欧洲数学克服原有的符號計算弱点,加速发展,形成初等数学,后发展为高等数学(以微积分的出现为标志), 并从古代科学中发展出近现代数学,至今在世界上形成具有100多个分支学科的数学学科体系。

　　十进位制计数法的西传,在世界上普遍地采用,大大地促进了欧美和世界各国社会、经济、科教、文化等各个方面的交流与发展。這就是世界各地數學後來都採用了十進制的原因，可不是開始就不約而同喔，特別是十進位值制，基本都是源于中國。

---

再系統說一下记数史。

首先，至迟在商代时，中国已采用了十进位值制。从现已发现的商代陶文和甲骨文中，可以看到当时已能够用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万等十三个数字，记十万以内的任何自然数。这些记数文字的形状，在后世虽有所变化而成为现在的写法，但记数方法却从没有中断，一直被沿袭，并日趋完善。十进位值制的记数法是古代世界中最先进、科学的记数法，对世界科学和文化的发展有着不可估量的作用。正如李约瑟所说的：“如果没有这种十进位制，就不可能出现我们现在这个统一化的世界了。”

大地湾仰韶晚期房F901中曾出土一组陶质量具，主要有泥质槽状条形盘、夹细砂长柄麻花耳铲形抄、泥质单环耳箕形抄、泥质带盖四把深腹罐等。其中条形盘的容积约为264.3立方厘米；铲形抄的自然盛谷物容积约为2650.7立方厘米；箕形抄的自然盛谷物容积约为5288.4立方厘米；四把深腹罐的容积约为26082.1立方厘米。由此可以看出，除箕形抄是铲形抄的二倍外，其余三件的关系都是以十倍的递增之数。这些度量衡具的发现也为研究我国古代十进制的起源等，提供了非常珍贵的实物资料。

古巴比仑的记数法虽有位值制的意义，但它采用的是六十进位的，计算非常繁琐。古埃及的数字从一到十只有两个数字符号，从一百到一千万有四个数字符号，而且这些符号都是象形的，如用一只鸟表示十万。古希腊轻视计算，记数方法落后，是用全部希腊字母来表示一到一万的数字，字母不够就用加符号“‘”等的方法来补充。古罗马采用的是累积法，如用ccc表示300。印度古代既有用字母表示，又有用累积法，受到中国的影响到公元七世纪时方采用十进位值制。參考注5中印交流介紹，注意玄奘取經是公元627年去的。现通用的印度——阿拉伯数码和记数法，大约在十世纪时才传到欧洲。

-＞

在计算数学方面，中国大约在商周时期已经有了四则运算，到春秋战国时期整数和分数的四则运算已相当完备。其中，出现于春秋时期的正整数乘法歌诀“九九歌”，堪称是先进的十进位记数法与简明的中国语言文字相结合之结晶，这是任何其它记数法和语言文字所无法产生的。从此，“九九歌”成为数学的普及和发展最基本的基础之一，一直延续至今。其变化只是古代的“九九歌”从“九九八十一”开始，到“二二如四”止，而现在是由“一一如一”到“九九八十一”。

中国周代金文的记数法，继承商代的十进制， 又有明显的进步，十进数量级符号有十、百、千、万、亿，如西周金文“伐鬼方……俘万三千八十一人”，“武王遂征四方，俘人三亿万有二百三十”，出现了位值记数，例如 “俘牛三百五十五“，其中三百五十五写成“三全XX”，前面的“全”是金文的“百”，后面两个XX是五十五，省去了“十”，出现了位置概念，但尚未形成完整的位值制。金文商鞅量铭还出现分数。

最迟春秋战国时代，已经出现严格的十进位制筹算记数，以空或特定符号代表0，也发明了用于十进位制乘法、除法及開方用途的九九表。

公元前3400年左右，古埃及有基于十进制的记数法。但这种十进制并无位值的概念。

吠陀时代前800年的印度仪轨经类文献中的绳法经中包含大量分数的应用，但并无证据显示此时的文字记数系统是十进制的。

公元前500年，希腊古典时期的阿提卡数字为十进制系统。

公元前300年，印度的婆罗迷数字为十进制。婆罗迷十进制毫无位值概念。

一般人的手指恰好有十个。因此十进制的使用似乎应该是极其自然的事。但实际情况并不尽然。在文明古国巴比伦使用的是60进位制（这一进位制到现在仍留有痕迹，如一分=60秒等）另外还有采用二十进位制的。古代埃及倒是很早就用10进位制，但他们却不知道位值制。所谓位值制就是一个数码表示什么数，要看它所在的位置而定。位值制是千百年来人类智慧的结晶。零是位值制记数法的精要所在。但它的出现却并非易事。我国是最早使用十进制记数法，且认识到进位制的国家。我们的口语或文字表达的数字也遵守这一原则，比如一百二十七。同时我们对0的认识及作為運算需要佔位符記號也最早，參考注3。

十进制是中国人民的一项杰出创造，在世界数学史上有重要意义。更多古文明数字系统比较参考注7。著名的英国科学史学家李约瑟教授曾对中国商代记数法予以很高的评价，"如果没有这种十进制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了"，李约瑟说："总的说来，商代的数字系统比同一时代的古巴比伦和古埃及更为先进更为科学。"

中国十进制度量衡有久远的历史。公元前6世纪的一把周朝尺刻有十分之一的寸和百分之一的分。换句话说中國上古十进制分数的广泛使用已经等效于现代十進制小數形式，尽管没有现代抽象符号简洁但实用上没有区别。不能说後人換個符號簡化一下形式才叫理解會用。更不能說近代依賴技術進展更新了度量衡單位才叫建立普及了真正的十進制，這是兩碼事，度量衡單位主要是物理，十進制運算是數學，早在中國上古就認識清楚普及傳播了。所謂小數點本質就是位值制与分割符的認識，如前所述也是中國很早就明確定義使用，文獻流傳下來的東西，非要以現代符號記錄為標準無疑陷入了西方中心論的陷阱。類似的非要以公理證明等西方語言形式來判斷是否有公理化演繹思想的存在也是可笑的，中國數學換個說法叫都術原理，殊途同歸，一以貫之就不是公理化了？實為不懂中文字義，不懂中算範式和文言文義而已。

王莽官定一百副青铜容量标准，一斛=十斗，一斗=十升，一升=10合。

传统度量衡因为日常分配方便，不是完全使用十进制，例如1斤等于16两、1呎等于12吋等。公制完全使用十进制，使换算较直接。

十进制不适应现代化信息设备，不是最佳信息计数法。如果人们使用二进制来表示数，不仅与计算机的交流变得简便，而且只需要记得怎样写0和1就能够记数了，比用十进制需要学习十个数字简单了80%。这还不是全部，举个例子来说，比如十进制的小数0.8，在二进制里怎样表示呢？要写成0.11001100...后面还有无数个1100，或者换句话说，十进制的有限小数转换成二进制不能保证能精确转换，二进制小数转换成十进制也遇到同样的问题。这也为信息处理带来了很大的不便。甚至为了能够较快的转换十进制数和二进制数，在设计处理器的时候加入了专门的电路和语句来完成这个过程，造成了处理器设计的浪费。因此，可以说十进制不适应现代化信息设备。

注1:

开方不尽的问题，刘徽先给了一个总概述：

若开之不尽者，为不可开，当以面命之……
术或有以借算加定法而命分者，虽粗相近，不可用也。凡开积为方，方之自乘当还复有积分。令不加借算而命分，则常微少；其加借算而命分，则又微多。其数不可得而定。故惟以面命之，为不失耳

首先刘徽认为，之前对开不尽的方根有两种处理方式，第一种是用余数加借算来命名一个分数，这种会使得平方后结果变大，另一种是不加借算，平方后结果变小，所以他认为“虽粗相近，不可用也“。刘徽认为，正是由于这种不精确的缘故，才“惟以面命之“。也就是说，面这个东西不可能是一个近似值，刘徽是想指代方根自身的精确值。这里就得到了不可被公度數即無法表示為有限小數的定義。

刘徽却基于这个定義，推断了无理根式的一系列基本运算性质.<九章算术.少广>

开立圆术曰:......并句股幂得七十五尺，是为大弦幂.....大弦幂开之不尽，令其幂七十五再自乘之为面，命得外立方积，四十二万一千八百七十五尺之面

大弦幂是一个开不尽的平方根，让面自己相乘三次得到立方积，为421875的根。

若母不可开者，又以母乘定实，乃开之。讫，令如母而一。

他的意思是说，如果有分数的根式 ，那么可以用分母 上下同乘分子分母得到然后对乘积后的分子做开方，最后把开方的结果再除以分母，这里显然认识到分母有理化的方法。由此可以看到刘徽将“面“作为一个独立的数来进行运算。

除了这些根式的基本性质之外，刘徽还给出了一个根式的十进制小数的渐进展开式。

不以面命之，加定法如前，求其微数。微数无名者以为分子， 其一退以十为母，其再退以百为母。

如果不用面来命名根式，那么还可以和前面开方术一样，求“微数”。所谓“微数”乃是用开方剩余的“无名”部分. 不断退下去即以十百千萬為分母的十進制分數運算，完全等效于現代十進制小數逼近，

可讨论根式“面”与微数之间的差异：

退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数， 不足言之也。

“退之弥下，其分弥细”，按照这种退一等求开方的方法，越退被开方数就会被分的越细。后半句“则朱幂虽有所弃之数， 不足言之也“。刘徽认为求微数一直求下去被弃的数就会越来越小，求出来的方根就会越来越接近真实值。但是他并没有无限进行下去，而是在还余下一个“不足言之”的数时就停了下来，所谓的“朱幂"指的是被开方数和近似平方根的平方之差。中国古人将线称为面，而现在的平面称为幂。我们现代汉语中"面积“一词既有，由面积累而成的意思。由于现代汉语的许多省略场景，现代汉语将积字省略逐渐用“面”来代替“幂”指代平面了。因此如果刘徽认为不足言的部分是近似根和真实根之间的误差项，那么刘徽就应该说“朱面虽有所弃之数“而非“朱幂虽有所弃之数“。

这一定义称为平方距离定义，与误差项定义的根本差别在于，误差项定义在刘徽时代是无法进行计算和验证的。现代人之所以可以计算误差项，是因为有一个前代数学家开发出来的开方结果可以进行参考。我们可以通过参考这个标准的开方结果来衡量自己的开方结果是否精确。然而在刘徽时代并不存在这样的预先存在的标准开方结果。从另一个方面来看即便有这样一个开方结果，在误差项定义下我们也不可能通过退位的小数位的多少来判断截断的朱幂是否“不足言”。

与误差项定义相反，平方距离定义则是完全可以在有限步内完成计算和验证的。刘徽这里之所以讨论朱幂，实际上是在做一种倒算验证的工作。

退的位越多，被开方数就被分的越细，近似方根的平方与被开方数之差形成朱幂，考察这个朱幂虽然还会有余数，但是只要退位足够多，那么朱幂就会小到不值得谈论的地步。如果以这种方式去理解，刘徽这段话实际上是表述了这样一个含义只要退位次数n的足够大，误差就可以足够小。这一表述颇为现代，已經類似现代极限的εδ定義。更多討論參考

導數起源參考

數位命名與翻譯問題參考

數學史及科普參考

量纲问题参考

古算除也用來表示減法，近代翻譯或表述問題參考

類似的以不注意中西區別而可能誤導的歷史或問題討論參考

上題和本題很像，其高讚答主完全基於西方語言學視角來宣傳誤導多人，類似現象都急需中普糾偏，任重道遠。

注2:

《九章算术》中，这些问题有3-5个方程，第9章的例子有更多的方程。如果在约化阶段用整数以直截了当的方式去做，那么，最终行阶梯矩阵对角线上元素的形式是。一个这样的问题——“水井问题”，其中作为未知数，给出未知数的数目多于方程的数目。这个例子经常被引用，表示《九章算术》的作者理解不定方程问题。《线性代数学的中国根源》记录了《九章算术》中古代中国的线性问题，并提供了关于它们解法的新见解。剩下的是要研究《九章算术》的第8章是否影响了现代线性代数学。《九章算术》是一个“根源”吗？或者它们是分割开来地发展，无论如何，难道它们不是我们数学遗产的一部分吗？

注3:

我国发明和使用“0”，对世界科学作出了巨大的贡献。“0”自从一出现就具有非常旺盛的生命力，现在，它广泛应用于社会的各个领域。

在数学里，小于“0”的数称为“负数”。在古代商业活动和实际的生活当中，“0”仍不能正确表示出商人付出的钱数和盈利得来的钱数，因而又出现了负数。

我国古代劳动人民早在公元前2世纪就认识到了负数的存在。人们在筹算板上进行算术运算的时候，一般用黑筹表示负数，红筹表示正数。或者是以斜列来表示负数，正列表示正数。

此外，还有一种表示正负数的方法是用平面的三角形表示正数，矩形表示负数。

据考古学家考证，在《九章算术》的《方程》篇中，就提出了负数的概念，并写出了负数加减法的运算法则。此外，我国古代的许多数学著作甚至历法都提到了负数和负数的运算法则。

南宋时期的秦九韶在《数术九章算术》一书中记载有关于作为高次方程常数项的结果“时常为负”。

杨辉在《详解九章算术算法》一书中，把“益”、“从”、“除”和“消”分别改为了“加”与“减”，这更加明确了正负与加减的关系。

元代数学家朱世杰在《算学启蒙》一书中，第一次将“正负术”列入了全书的《总括》之中，这说明，那时的人们已经把正负数作为一个专门的数学研究科目。

在这本书中，朱世杰还写出了正负数的乘法法则，这是人们对正负数研究迈出的新的一步。

我国人对正负数的认识不但比欧洲人早，而且也比古印度人早。印度开始运用负数的年代比我国晚700多年，直至630年。印度古代著名的大数学家婆罗摩笈多才开始使用负数，他用小点或圆圈来表示负号。而在欧洲，人们认识负数的年代大约比我国晚了1000多年。

相比之下，我国古代的许多著名数学家不但对负数的认识在世界上最早，而且还对负数了解得最透彻、最深刻。

《九章算术·方程》用直除法解线性方程组时用到了正负术: “正負朮曰: 同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之; 其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”。

解釋一下: 当方程两行所消元的系数同为正数或负数，即同名时，用减法。此时若其他对应项的系数(含常数项)为一正一负者，就相加，即a-(-b)=a+b，-a-b=-(a+b)，a，b>0; 若被减行对应项是空位則称之为“无”，入表示接納得到通“如”即等於如同義，傳統九九表有二三如六等等，那么“正无入负之，负无入正之”，即0-a=-a，0-(-a)=a，a>0。傳統書寫順序是右到左，所以先說的正為減數。当方程两行所消元的系数为一正一负，即异名时，用加法。此时若其他对应项系数为同号者，就相加，即a+b，-a+(-b)=-(a+b)，a，b>0; 两行任一个有空位，其加法法则为“正无入正之，负无入负之”，即0+a(或a+0)=a，0+(-a)(或-a+0)=-a，a>0。稍加注改原文通俗表示也更清楚:

正負朮曰:

消元係數同名則數相減亦值相減，余項係數异名則值相加，正被无減如负其名而值同，负被无減如正其名而值同;

消元係數异名則數相加而值相減，余項係數同名則值相加，正被无加如正，负被无加如負。

所以從上面運算法則看，无這個漢字定義作用在古算此語境下就等同于通常的數字0。

易學方面，先天八卦文獻上雖然後出但應該有其歷史源流，方圓圖和先天八卦都是按明顯的二進制進位規則排，從而乾或坤卦在相應二進制數表示中就是0的符號表示，當然這裡的符號化並非僅用於通常的數學而更多是講究其象數義理，後世關注重點更在義理方面，但不可否認已經很早具有符號0的抽象表示。這點也是他處都沒注意到的事實，強調一下。

据考证，“0”这个符号表示“没有”和应用到社会中，是从我国古书中缺字用“□”符号代替演变而来。至今，人们在整理出版一些文献资料档案中遇到缺字时，仍用“□”这个符号代替，表示空缺的意思。

我国古代的历书中，用“起初”和“开端”来表示“加”。古书里缺字用“□”来表示，数学上记录“0”时也用“□”来表示，相當於佔位符和現在記數形式本質一樣。

这种记录方式，一方面为了把两者区别开来，更重要的是，由于我国古代用毛笔书写。用毛笔写“0”比写“□”要方便得多，所以0逐渐变成按逆时针方向画的圆圈“0”。

○曾經同時作為員與丁的初文 後面應該為了區分都有演化最後徹底放棄了圓形筆畫 除了又表示0或空位的概念再次出現使用，不過使用場景有限。

注4:

简单说，就是把2个do之间平均分了12份，每份就是1个半音，这些音并不是凭空哼出来的，而是真的用算盘计算出来的，每个音的频率为前一个音的2开12次方，即1.059463094359295倍。

首次提出这个规律的人就是朱载堉。朱载堉最为人所熟知的科学成果，也是十二等程律或十二平均律。十二等程律解决了2000多年来困扰中国乐律学界的转调问题，在音乐理论史上具有划时代意义。通俗地说，没有朱载堉的贡献，就很难有现代钢琴的诞生。

朱载堉的“十二平均律”使这十二个键的每相邻两键音律的增幅或减幅相等。对这个音乐领域遗留了一千多年的学术难题，朱载堉经过几十年的潜心研究，终于以他的十二平均律之说解决了。或许音乐上的这种专业词汇让人费解，那么让量化一下：世界上已知的十有八九的乐器定音，都是在十二平均律的基础上完成的，它被西方普遍认为是“标准调音”、“标准的西方音律”。朱载堉首创的十二等程律被传教士带到了西方，产生了深远的影响，朱载堉也因此享誉欧洲。

遗憾的是，朱载堉所创建的十二等程律，被清朝康熙帝抄袭、歪曲，之后又受到乾隆帝的无理辟识。乾隆帝10年间下6道圣旨，令其儿子和大臣对朱载堉及其音乐理论展开批判，掀起了一场对朱载堉文字狱式的围剿。

近代科学为何没能在满清中国发生而是兴起于西方，原因多种也在我其他回答有讨论，这里的音乐学术传播就是一个典型案例和历史缩影。西方在明清时期吸收大量中国文化科技与各类文献典籍，借鉴中国传统优秀制度理念如科举选拔等等，并基于殖民财富与经济推动生产力需求提供给大批科学家更好的发展环境，最终促进了近代科学的兴盛，反观中国其时，明末瘟疫气候及战乱动荡，民不聊生，满清再对漢人打压後闭关自守，传统学术水平倒退乃至失传，其历史结果也就不言而喻了……

其次是朱载堉对人的需求层次的认知

1943年，美国心理学家马斯洛提出需求层次理论。他将人类需求像阶梯一样从低到高按层次分为5种，分别是生理需求、安全需求、社会需求、尊重需求和自我实现需求。

朱载堉在《山坡羊·十不足》中早就写道：“逐日奔忙只为饥，才得有食又思衣。置下绫罗身上穿，抬头又嫌房屋低上天梯子未坐下，阎王发牌鬼来催。若非此人大限到，上到天上还嫌低。”这首曲子批判了一些人永无止境的贪欲，有很大的警世作用。其实，换一种角度，这也反应了朱载堉对人的需求层次的深刻认知，可以说是需求层次理论的鼻祖。

《山坡羊·十不足》采用怀庆府特有的莲花唠的形式撰写而成，被不少省市县党校选入党员干部培训教材。一些网友开玩笑地说：“如果我们今天的公务人员能够把‘十不足’作为自己的座右铭，时刻警醒自己的话，那么，国家的反腐机关将会减轻很多的工作量。”

西方卫生介绍在上链接第6节。

注5:

最早记述中国与印度之间联系的故事，莫过于汉明帝建洛阳白马寺。公元64年，汉明帝梦见神灵。大臣解释说，西方天竺国有被称为"佛"的得道者，如汉明帝所梦一样在空中飞行、身有日光。汉明帝于是派遣两位使者前往天竺取经。使者与印度僧人一起携带佛经和佛像回到洛阳，汉明帝因此造白马寺，供养佛像与高僧，并译出了第一部佛经《四十二章经》。玄奘公元627年去取經，参加无遮大会的这一年，戒日王向中国派出了使节，唐帝国的使节也抵达印度，受到了戒日王热情召见。印度历史学家也承认，没有玄奘的著作如大唐西域記，重建印度史是完全不可能的。现在，印度华人最多的加尔各答还有一座1971年由华人出资建造的"玄奘寺"。1861年，英国考古学家康宁汉姆根据玄奘的记载发现了那烂陀遗址，使其在沉睡600多年后重见天日。这座鼎盛时期拥有一万多师生的古代大学，在13世纪因为宗教问题被焚毁。

注6: 中國數位命名

近代中国数学一般用万进制数位:

大数:一、十、百、千、万、亿、兆、京、垓、秭、穣、沟、涧、正、载、极、恒河沙、阿僧只、那由他、不可思议、无量大数。

小数:分、厘、毫、丝、忽、微、纤、沙、尘、埃、渺、漠、模糊、逡巡、须臾、瞬息、弹指、刹那、六德、虚空、清净、阿赖耶、阿摩罗、涅盘寂静。

数位进制: 万以下为十进制，特别是小数全为十进制。万以上数位命名取万进制，即:1亿 = 10000万，1兆 = 10000亿，例如:万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿、兆。

注7: 古代各文明记数系统比较，引网友相关讨论参考:

希腊人没有分数，只有比例。而且他们的比例只能在相同量之间进行，比如说，速度等于路程比上时间。但是他们认为路程和时间的比是没意义的。希腊人的数是很奇葩的，他们不认为1是一个数，他们的数是从2开始的，1是一个基本Unit。因此他们也是不认可1是可以被分割的，这个定义是明确写在几何原本里的定义，这个定义基本上和点是无法分割的定义是一致的。也就是说认可了1可以被两等分三等分，那么意味着点也可以。这就会动摇他们的整个几何体系。因此希腊人只有奇怪的几何比，没有分数，更不要说构造完整的分数运算规则了。

中国古代用算筹计数和中国位值制是两回事！中国数字是典型的位值制，中国数字自从殷商甲骨文就已经是十进位值制了，类似苏美尔和玛雅这些原生意音文字的数字一开始都是位值制，三者不同之处在于只有中国是十进位值制，苏美尔是六十位值制，玛雅是二十位值制。希腊继承的是古埃及的数制，是十进制，不是十进位值制。罗马学习希腊数制，整个中东数字被字母化后，都是进位制，不是位值制，数制表达都极其繁琐，印度的梵文源起中东的阿拉米字母，印度的数制也吸收了中东繁琐的进位制，但没有位值制，印度在与中国进行深度文明接触后，才在唐朝产生了数制突变，由十进制突变出十进位值制。

……同时印度的婆罗门教和佛教流行空的概念，印度把“空”和0对应，而在中国数字基础上产生了印度数字。印度在改造中国数字的基础上系统吸收了中国九章算术体系，然后很快向西亚传播，从而对阿拉伯帝国的数学创建奠定了基础。十进位值制是中国的新四大发明之一，这是对老四大发明的修订！

数字原本就是文字，数制也根植于文字，世界三大原生文明，华夏、苏美尔和玛雅的数制都是位值制。东地中海文明圈的数制竞争中苏美尔的六十位值制被淘汰，然后由埃及数制主宰，这和字母文字结合在一起，数字计算对于东地中海文明圈一直是一件很困难的事情。印度文明并没有继承印度河文明的文字，而是吸收东地中海文明圈的文字和数学，而东地中海文明圈繁琐的计数印度也学来了，这个一直根植于印度文明，但是到七世纪印度突然产生位值制，而这个已经是中国甲骨文十进位值制2千年以后的事情了。印度数字突变的源头一定是中国，因为数字是文字的衍生产物，印度是东地中海文字体系，它突然摆脱了文字束缚产生位值制，这是很惊人的事情，但是如果考虑到中国和印度的文明交流，那么这个就一点不惊奇了，这不过是文化传播产物！

世界数学史上数制都是前面几章的重头戏，而且印度数字被大书特书，然后零也被大书特书，但西方数学界只把十进位值制止于印度，但印度还有中国源头！

算筹一般应对大计算量，而简单计算一般都是心算的，由清华简我们可以知道中国至少在战国时代就已经有九九表了，中国人进行口算一直是位值制的。

东地中海文明圈除了最初的苏美尔，在计数上都是加法机制，始终没有向乘法跨进，而中国数字从文字一诞生就天然是乘法机制！当代世界数字是用东地中海文明圈的字母和中国的位值制结合的产物！

注8: 疇人傳相關摘要

方中通，字位伯，桐城人。集诸家之说，著数度衍二十四卷，附录一卷。言：“九章皆出於句股，环矩以为圆，合矩以为方，方数为典。以方出圆，句股之所生也；少广，方圆所出也。方田、商功，皆少广所出。一方一圆，其间不齐，始出差分，而均输对差分之数，盈朒借差求均。又差分、均输所出，而以方程济其穷。度量衡原出黄锺，粟布出焉，黄锺出於方圆者也。”

又言：“古法用竹径一寸长六分二百七十一而成六觚为一握，后世有珠算而古法亡矣。泰西之笔算、筹算，皆出九九。尺算即比例规，出三角。乘莫善於筹，除莫善於笔，加减莫善於珠，比例莫善於尺。”……

时广昌揭暄亦明算术，与中通论难日轮大小，得光肥影瘦之故，及古今岁差之不同，须测算消长以齐之。一昼夜人一万三千五百息，每息宗动天行十万里有奇。别录为一书，曰揭方问答。

　　揭暄，字子宣，广昌人。著璇玑遗述七卷，一名写天新语。论日月东行如槽之滚丸，而月质不变。又谓七政之小轮。皆出自然，如盘水之运旋而周遭，以行疾而成旋涡，遂成留逆。於五星西行，日月盈缩，皆设譬多方，言之近理。康熙己巳，以草稿寄梅文鼎，抄其精语为一卷，称其“深明西术，而又别有悟入，其言多古今所未发”。卒年逾八十。

注9

鏡花緣79回

青钿道：「昨日那里知道却埋没这一位名公，真是瞎闹！」因指面前圆桌道：「请教姊姊：这桌周围几尺？」兰芬同宝云要了一管尺，将对过一量，三尺二寸。取笔画了一个「铺地锦」。画毕道：「此桌周围一丈零零四分八。」春辉看了道：「闻得古法径一周三，是么？」兰芬道：「古法不准，今定径一周三一四一五九二六五甚精，只用三一四，三个大数算的。」春辉道：「若将此桌改做方桌，可得多长、多宽？」兰芬道：「此用圆内容方算，每边二尺二寸六分。」

附: 最後貼下相關討論截圖，能反映一些常見誤區與對中算的成見，對事不對人，參考:

這位是懷疑中國數學史論文與中國古籍記載及考古證據……

還有仍然堅持數學十進制一定是人手指頭數與日常生活決定的…… 對實際生活所需進制的豐富程度一概無視，如果人类天生四个手指，数学里面也不会用四进制而大概率用十进制以提高书写效率。

不是数学系的估計不知道什么叫p-adic theory 不知道微分流形的起源或坐标變化的意义，但也应该知道为什么计算机用二进制不用十进制 ，也应该学过初等数学极坐标与直角坐标的转换，所以數學的定理實質某种意义上可以說与进位制无关，但人类对数学理论的认识发现及研究效率却与各种表达形式息息相关，十進位值制在數學中特別是筆算及其表达上，相對其他進制的先進便捷性無可替代，这也是吴文俊先生强调的中国古算率先发现并熟练应用十进位值制的重要历史意义。就上面截图和高赞仍然持续增加已经翻倍的赞数看，不期望每个人能理解本答，写这个也可以看看知乎到底还有没有纠错能力，实在不行就算了，不能强求毕竟也只是一个生活平台，哈哈。

（上面的解释基本是多数人能看懂的原因，还有一些另外角度的解释关于10的特殊性，估计多数人是看不懂的就不提了）

---

  tommaxmim-18 网友的相关建议: 
      

很多是巧合。

实际上很多国家，在日常生活中不是使用十进制的，反而四进制、十二进制、十六进制比较普遍。包括我们自己也是，不远的古代/近代史的交汇处，算盘的半五进制、商贩的半斤八两、媒婆的天干地支、城隍庙的九五至尊等等，并不都是十进制。

首先，手指论是很早之前的事情，现代生活的数学早就连妈都不认识了。

十进制的优点，尤其对中国人而言，是机缘巧合的结果：零的定义、阿拉伯数字系统的引入、单音节数字语言，导致中国的十进制数字语言信息熵很高，相较二进制、十二进制和十六进制。

十进制自身的优点，表现在描述自然数与幂的时候很均匀，这个特性对天文、物理学就很舒服了。

数学专业系统应该有分析过吧？

---