算子代数是一门怎样的数学分支？学习算子代数需要怎样的基础？ 第1页

算子代数这个方向分支很广，应用也很多，但如

所说，只需要泛函分析做基础就足够了，用到什么学什么也来得及。

但是算子代数的应用角度很多，所以读哪些书最好先确定目的。一般来说，现在很多人学习算子代数一是为了数学化量子力学和量子场论， 二是研究非交换几何。不同的目的决定了你从那方面入手。纯粹的算子代数研究的人不多。

学过泛函分析的话你就可以读懂这样一句话：“对于希尔伯特空间上的有界线性算子，我们可以做加法，做乘法（也就是算子的复合），还可以做数乘。所以所有有界线性算子的全体构成了一个代数。而算子代数这门学科就是要研究这个代数的子代数的性质。”

为什么要研究它呢？因为这个代数有个很好（cha）的性质------它是不交换的。最简单的，有限维空间的有界线性算子是矩阵，就是不交换的。量子力学刚刚开始的时候，大家就发现很多可观测量是不可交换的，如果想用数学模型来描述可观测量，就需要找到一个非交换的代数。在当时的时代，大家能找到的唯一的非交换代数就是矩阵代数，然后大家就happy地用起来了。慢慢地，矩阵不够用了，大家需要用到无穷维的矩阵，而无穷维矩阵并没有坚实的数学基础。怎么办？天上掉下来个 冯诺依曼。36年到43年，冯诺依曼写了一系列文章来研究这件事情。题目很直白，就叫做“On rings of operators (I, II, III, IV)”， 顺便还写了本书叫 “量子力学的数学基础”。这几篇文章奠定了算子代数这个学科的基础（原谅我忽略了Jordan, Murray 等奠基者，冯诺依曼太耀眼了），很值得读一读，但读起来不太容易，因为语言和工具比较古老，我们可以先学些基础再去瞻仰。

就现在的算子代数来说，入门不需要物理背景。大家主要关心的是两类子代数：C* 代数（为什么不叫盖尔芳德代数呢？） 和 冯诺依曼代数。一本不错的参考书是

Blackadar Operator Algebras: Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras.

作者主页上有电子版

就我个人而言，更喜欢的是Dixmier 的两本砖头：C*-algebra 和 von Neumann algebra。只是这两本太厚，而且有点古老，基本是Allan Connes 之前算子代数的总结，可以当字典翻翻。（当然，这三本我都没读完）

对于C* 代数来说，我们碰到的第一个大定理是：对每一个交换C*代数都存在一个仿紧拓扑空间使得这个代数同构于空间上所有连续函数的全体组成的代数。交换C*代数的集合和仿紧拓扑空间（一点点点集拓扑还是需要的）的集合是一一对应的。然后我们就可以通过研究交换C*代数来研究拓扑。如果代数这边推广到一般的非交换代数，我们就可以把另一边推广到非交换拓扑空间（是不是听起来很高大上？）。这就是非交换几何的一个起源。如果你懂一些拓扑K理论，（不懂也没关系，可以现学）我们就通过这个关系将K理论推广到了C*代数的K理论。（两个K理论没啥不一样的甚至有些人把C*代数K也叫做拓扑K也叫算子K, 把代数K的名字给了一般环上的K理论（好难好难的））

所以从某种意义上来说，C*代数是一个拓扑理论。

对应的，冯诺依曼代数是一个测度理论（需要一点点测度论基础，比如什么是Haar测度，当年冯诺依曼就是照着Haar测度搞出来的）。粗略来说按照trace 函数的值（记得冯诺依曼代数是矩阵代数的推广，这里的trace 也相当于矩阵trace的推广）可以将冯诺依曼代数分为三类， I, II 两类对应 trace是0 和有限实数，还好，第三类对应trace 正无穷，很难很难（Connes 就是分类这个东东得了fields）。在connes 的那本“非交换几何”里不同类别的冯代数对应了 叶层结构 (foliation) 是不是有好的测度。

看到这如果你不专门做算子代数方向的研究，我想基本也就够了，如果做了这方向，下一步就要去问自己的老师，毕竟分支这么多，找一个扎下去才是根本。