谢邀,反例如下
导数为
.
显然 有界,我们可以发现 .
所以1是 的上界,我们取 , 那么我们发现 ,所以1是 的上确界,但是没有一点可以取到它。所以 取不到最大值。
这个例子的特别在于如果 定义在 上,那么它是一个在0点取到最大值但是在0的两边都(任意小的区间内都)不单调的例子。
这种类型的反例很常见,可以参考「实分析的反例」