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在开区间上无界的连续函数一定不一致连续吗? 第1页

  

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谢邀


开区间上的有界连续函数

它不一致连续。


但闭区间上连续函数一定一致连续,这两个情况完全不同。



开区间上的无界连续函数

开区间上的无界连续函数一定非一致连续吗?也就是说,存在开区间上的一致连续的函数吗?

分两种情况,在有限开区间和无限开区间。

  • 在无限开区间上


这是一致连续函数。

证:∀x₁,x₂∈( 1, +∞ )

于是 g(x) 在( 1, +∞ ) Lipschitz 连续,必一致连续。


  • 在有限开区间上

这种情况是不可能一致连续的。

证:假设 h(x) 是 ( a, b )上的无界连续函数,我们知道 h 必然在边界无界,在其余的地方有界,否则不连续,矛盾。我们不妨设 h(a) = +∞,于是存在两个趋于 a 的点列,当n充分大时有:

这两个点列存在可由函数的介值性保证。故 h(x) 非一致连续。



一致连续比较形象的理解是:

对于曲线上任意一点,存在一段“管子”(如上图)。随着点在曲线上的移动,管子也跟着移动,但要保证水平。如果管子可以不接触到曲线,完美走过所有点,则函数被称为一致连续。

这个说法是在裴礼文书上看到的。

生活中有类似的游戏,就是用一个小环套在铁丝曲线上,参与者要将小环从起点移至终点,全程不能触碰曲线,否则会引起警报。只不过,这种游戏不会限制小环调整角度,但“一致连续游戏”难度有点大——不允许调整角度。

如果不存在这样一根管子,那函数非一致连续。




  

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