如何评价2021年第62届IMO试题？ 第1页

又是几何题最难，IMO的组委会还挺怀旧的，，，

写下我暂时想的思路。

第一题：容易验证：对正整数 ，集合

中任意两个数之和是完全平方数。由 解得 ；由 解得 。由条件容易得到

所以存在 使得 。所以把后者分成两部分时，总有两个同属于 的数被分在一起。

第二题：定义函数

。

注意， 的每一项在其连续点都是上凸函数，所以 的最小值一定在间断点取到，也就是某个 处。等式右边就是 ，所以只要证明 。

上面的描述揭示我们不妨设 ，因为我们可以取 ，用来替换 。这时 不变，而另一个式子变成最小的 。

现在对 ，我们有 ； 。所以在假设下我们只要证明

。

这就很明显是需要使用归纳法了；最终我们化归为 的情形，前者显然，后者就是证明

。

这种就比较好处理了，你硬算也行。

第四题不会有人做不出来吧？

第五题：如果不是题目说的这样，那么第 次操作中 两边的数要么都比 小，要么都比 大。如果是前者，我们称 为第一类数，后者称为第二类数。

(1)如果第 次操作时 是第一类数，则之后 的位置不会变化；如果第 次操作时 是第二类数，则 的位置在之前没有变化。

设 是第一类数，则 两边的数都小于 。这样 不在 旁边，所以第 次操作中 不会移动；如果 不在旁边的旁边，则 旁边的两个数位置也不会变化；如果是，设 旁边为 ，且 旁边为 。因为 ， 是第一类数，则第 次操作后 旁边为 ，都小于 ，所以 不在 旁边。这样递推就得到结果。

(2)如果第 次操作时 是第一类数，则 的两侧都是第二类数；反过来，如果第 次操作时 是第二类数，则 的两侧都是第一类数。

如果 是第一类数，且第 次操作 旁边的 也是第一类数：条件表示 。根据(1)，第 次操作以后 不会移动位置，但是现在第 次操作会这么做，矛盾！

(3)根据(2)，第一类数和第二类数必须相间排列。但是 是奇数，这也不可能。所以假设不对，必须是题目说的数存在。

其他的我还没仔细看。