百科问答小站 logo
百科问答小站 font logo



为什么left adjoint的存在性和comma category有关? 第1页

  

user avatar   su-lang-86-31 网友的相关建议: 
      

首先我们知道adjunction有两种等价的定义:

Definition 1: Suppose and are categories and and are functors. Then F is left adjoint to G and G is right adjoint to F, notated , iff naturally in , . We say that F and G together with the associated isomorphism between the relevant com-set form an adjunction
Definition 2: Suppose and are categories and and are functors. Then F is left adjoint to G and G is right adjoint to F, notated , contain two natural transformations satisfies two triangle identities.

既然这两种定义等价,那么我们可以问一个自然的问题:能不能把adjunction的两种定义揉合在一起,各取一半,变成一个新的adjunction的定义?答案明显是可以的。我们有如下的theorem:

Suppose and are categories and and are functors. Then iff (i) there is a natural transformation , for which (ii) for any in , there is a unique in such that .

可以看出(i)就是definition 2的“一半”, (ii)就是defintion 1的“一半”。同时我们可以看出这个定义是一种universal property, 而universal property 暗示某种合适的dervied category 存在initial or terminal object。 这种dervied category 就是某种特殊的 comma category

Suppose is a functor. If the derived comma category has an initial object for every , then G has a left adjoint.



  

相关话题

  三角函数的起源是什么?为什么要引入三角函数? 
  线性映射为什么那么重要? 
  下面这道数竞平面几何题求好的解题思路和方法? 
  设r是有单位元的非零环若r是有限环,则r的素理想是极大理想如何证明? 
  正在读数学 Ph.D. 的你对想读数学 Ph.D. 的本科生有什么建议吗? 
  如何判断这个习题中的数列是否收敛? 
  孔丘反对人殉吗? 
  函数方程 f(xy)=f(x)+f(y) 的严格解是什么?解是否唯一? 
  数列收敛的 ε-N 定义怎么理解?其作用是什么? 
  「我对女生的兴趣,还没有我对数学的兴趣高。」这样的男生是怎样的性格? 

前一个讨论
请问一下,如何证明有限生成R(交换幺环)-模的满自同态一定是同构呢?
下一个讨论
如何证明不全无界的两不相交闭集之间的的距离大于0?





© 2025-05-28 - tinynew.org. All Rights Reserved.
© 2025-05-28 - tinynew.org. 保留所有权利