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数列{tan n/n}有界吗? 第1页

  

user avatar   kokojian-sai-sai 网友的相关建议: 
      

同样,我也没彻底解决这个问题,但我可以提供一个思路。

首先,我们有如下引理:

引理:

( Hint: 对 的 Weierstrass无穷乘积取对数导数即可证明。)

于是,对给定的 , 我们有:

记 , 不难验证我们有:

当 时,

当 时,

因此我们可以考虑将 式中的求和分成三个部分:

而且,根据上面的估计,我们有:

换言之,我们有如下命题:

命题:对任意自然数 , 记 , 并记:

则 .


根据上面这个命题,我们有:

推论:数列 的有界性,等价于数列

的有界性。其中, .


接下来应该就是超越数论的内容了。这等价于回答下面这个问题:

如果我们希望 和离其最近的整数之差不超过 的话, 至少需要多大?

感觉上, 的超越性应该蕴含着,当 很小的时候, 是不可能和某个整数离的很近的。反之,当它和某个整数离得非常近的话, 应该会很大。

目光回到 式。当 的绝对值很小的时候,意味着 离 很近,于是 会很大,此时 是一个绝对值很大的负数(因为它的分母很小),而 则是一个很大的正数(因为 很大。这可以证明。)二者能否抵消,便成了 是否有界的关键。类似的的,当 很小的时候,意味着 离 很近,那么相应的, 也会很大,从而第一项的绝对值也会很大。同样,二者能否抵消便是关键所在。


但很抱歉,我对超越数论等内容并不熟悉,所以没法继续做下去了。如果想顺着这个思路做下去,就是要回答我刚刚提出的问题...




  

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