广义反函数的定义及该定义的相关说明(问题描述)？ 第1页

谢邀。

一说起反函数，我们最先要问的问题，也是最核心的问题：它真的存在吗？

反函数存在条件是苛刻的，要求原来的函数必须是单射才可以，也就是说，

对于象集 Y 当中的每个元素 y，原象集 F⁻¹(y) 都是单点集。

对于一般函数来说，F⁻¹(y)通常不是单点集（甚至是可列集），但是（不妨骚操作一下）如果我们将F⁻¹(y)中的元素“捏”成一个点（商拓扑），它就成单点集了，于是就符合反函数存在的条件了。怎么捏呢？嗯，取下确界吧，任一个原象集 F⁻¹(y) 肯定都存在下确界。

例

y = sin x 在 [ 0, π ] ，很显然不存在通常意义下的反函数。因为

∀y∈(0,1), F⁻¹(y) 是两点集{x₁,x₂}，如下图

那我们只要较小的 x₁ 就可以了。

最后，我们不妨把条件放得更宽一些：

F⁻¹(y)=F⁻¹(y=f(x)) —>F⁻¹( y<F(x) ) ，借用上例，我们会发现x₁= inf { x : y＜F(x) }

如果F是可测函数，那后者就是可测集，更方便论证了。

现在再看下式，相信就很清楚了。

F*(y) = inf { x : y＜F(x) }