百科问答小站 logo
百科问答小站 font logo



广义反函数的定义及该定义的相关说明(问题描述)? 第1页

  

user avatar   liu-yang-zhou-23 网友的相关建议: 
      

谢邀。


一说起反函数,我们最先要问的问题,也是最核心的问题:它真的存在吗?

反函数存在条件是苛刻的,要求原来的函数必须是单射才可以,也就是说,

对于象集 Y 当中的每个元素 y,原象集 F⁻¹(y) 都是单点集。


对于一般函数来说,F⁻¹(y)通常不是单点集(甚至是可列集),但是(不妨骚操作一下)如果我们将F⁻¹(y)中的元素“捏”成一个点(商拓扑),它就成单点集了,于是就符合反函数存在的条件了。怎么捏呢?嗯,取下确界吧,任一个原象集 F⁻¹(y) 肯定都存在下确界。


y = sin x 在 [ 0, π ] ,很显然不存在通常意义下的反函数。因为

∀y∈(0,1), F⁻¹(y) 是两点集{x₁,x₂},如下图

那我们只要较小的 x₁ 就可以了。

最后,我们不妨把条件放得更宽一些:

F⁻¹(y)=F⁻¹(y=f(x)) —>F⁻¹( y<F(x) ) ,借用上例,我们会发现x₁= inf { x : y<F(x) }

如果F是可测函数,那后者就是可测集,更方便论证了。


现在再看下式,相信就很清楚了。

F*(y) = inf { x : y<F(x) }




  

相关话题

  同时掷三枚硬币,落地后出现三阳、三阴、两阳一阴、两阴一阳的概率相同吗? 
  几何与拓扑方向需要学习代数几何吗? 
  数学总是令我困惑,为什么可以这么做? 
  剩余类环的所有理想怎么求? 
  圆周率应该如何从更高的数学视角理解? 
  如何看待 Atiyah 对六维球面 S^6 上没有复结构的证明? 
  小数点后可以有无数位,为什么两个物体仍可以相互接触? 
  数学史上有哪些比较著名的猜想因为有反例的存在而没有成为定理? 
  一立方米的物体(类似于活性炭)把它展开后它的表面积最大能有多少?能达到无限吗? 
  是否存在一个级数的∑an使得任何其他级数,只要通项大于它的都发散,小于的都收敛? 

前一个讨论
在开区间上无界的连续函数一定不一致连续吗?
下一个讨论
数学中那些高明的变换技巧是否有规律可循?





© 2025-04-04 - tinynew.org. All Rights Reserved.
© 2025-04-04 - tinynew.org. 保留所有权利