在边长为 1 的正方形中随机取三个点，构成三角形的面积期望是多少？ 第1页

答案是。
更新了一个圆内三角形面积期望值是，在最后。
第一步先想到的肯定是多重积分。

积分内部必然是一个用三点坐标写成的面积公式，刚刚好有这个公式。
假设三点为,
则面积是.
但是这个积分

是没法手算的,因为绝对值所需区分的区间太多了。
积分内部应该还有一部分是probability density function（概率密度函数,简称pdf）,因为这6个变量是独立的，所以总的joint pdf就是各自的pdf相乘，但是他们都是1，所以可以忽略。

这条路走不通那就硬算，但是利用对称性简化一下计算量。

一. 分情况

这三个点的横坐标的大小顺序一共有六种，每种情况没什么区别，算其中一个积分就行，得到的答案乘以6就是最终答案。

下面只考虑的情况，

换句话说，点在点和点的中间那条这条线上。

这时候考虑交于点，

那么
因为.
当然也可以直接写成关于的函数

二.按顺序对6个变量积分

首先对进行积分，在这里是常数。

再对积分

接下来因为是的函数而已，右边那部积分部分跟没关系。
然后对从积分到，再对从积分到，再对积分，写成

所以最终期望是

贴一个模拟，

模拟结果是0.0762564，相当接近。

==========================================================================

下面简写一下在单位圆内取三角形。

只要思考稍微久一点，利用圆的对称性，基本上都能想到把情况简化到以下这种，

固定点在

先计算出这时期望值，假设为,
让,如果你稍微懂一些概率分布，应该知道CDF是,那么PDF是.

那么问题只剩下算出,这时我们要寻找一下能够利用角度表示三角形面积的公式。

第一个进入脑海中的自然是,这里指的是三角形两条边的长度然后指的是这两条边的夹角。

我们思考下如何利用这个公式，比较直接的想法是，考虑等等，但是要分圆心是否在三角形内两种情况，如果再仔细思考会发现还有更多种情况，很麻烦，放弃。

那么暴力一点就是考虑,这个公式只分两种对称情况和，但是用我们的坐标表达出来特别麻烦，这时候狠下心，把坐标系改成以点为原点的极坐标那么就很好表达了。

剩下的就是写下表达式然后计算我就不说了，Mathematica积分算出来是.

总期望是

再贴一个模拟，

模拟的结果是0.232216，挺接近的。

在圆内能否用四条直线割成九块面积相等的部分？ - Lancewu 的回答

圆内能否用四条曲线割成九块面积相等的部分？ - Lancewu 的回答

在一个平面内n条直线和1个圆最多能把一个平面分成几部分？ - 数学