如何理解庞加莱对偶（Poincare Duality）? 第1页

现有的回答都谈得有点高深，我就跟你说说最基本的 Poincare duality. 这块很遗憾，英文的 Wikipedia 也写得不太好。人类对 PD 的理解，已经达到了下图右侧的水平——皮毛都去掉了，只剩牛角、阳具、四肢和牛尾这种最本质的东西。

在初学者看来 Poincare duality 是一个关于紧的可定向的拓扑流形的同调和上同调之间的微妙关系，证明也很精巧，也许用胞腔剖分 - 对偶剖分加上一些组合性质就能证明出来，但是即使是专家除了个别人也不会记得住这里的细节，而且这个细节很没启发性（比如，看完证明不深入思考很难理解哪一步用到流形这个性质，哪一步用到紧性，哪里用到 orientation, 这些都被技巧掩盖住了）。

实际上 Poincare duality 几乎是一个代数的定理（除了局部同胚于 R^n 没有用到任何流形的性质，不光滑或者没什么别的结构也没任何关系。如果推广到非紧的情形，你会惊讶地发现它的适用范围极广）。那它为什么是显然的呢？首先你需要 cohomology with compact support, 这个推广不是闲得没事无病呻吟，而是 closed（紧致无边）manifold 太 “硬” 了，不允许你拆成简单的几块，拓扑流形局部上都是 R^n, R^n 不是紧的流形。有了 cohomology with compact support 才能用上拓扑流形是由 R^n 粘起来的这个性质。

在知道这些以后 Poincare duality 的陈述化成

如果 M 是对系数环 R 可定向的 n-manifold, 则

现在，作为一个纯粹代数的定理，怎么证明可以两句话说清楚（第一句话用到流形的性质，第二句话用到 MV 正合列）—— a) 因为是流形，每点的局部有邻域同胚于 R^n, R^n 的紧支集 cohomology 和 homology 有个对偶（几乎是平凡的 —— R^n 的紧支集 cohomology 就是 S^n 的 cohomology, 但是为了这个同构是典范的，要用到可定向这个性质），b) 这个局部的对偶可以用代数技巧粘起来变成整体的对偶（事实上这就是两者的 Mayer-Vietoris 正合列）。写到这里隐约记得 Bott-Tu 里对 de Rham (co)homology 证明 PD 就是这个套路。

最后如果用流形是紧的，cohomology with compact support 就是原来的 cohomology, 这就是传统的 Poincare 对偶。

真要用上 ∞-category 的语言，计算同调的对偶和紧支集上同调的 complex 都是流形上的 cosheaf, 局部同构所以整体必然同构，that's it. 参看 http://www.math.harvard.edu/~lurie/282ynotes/LectureVIII-Poincare.pdf Proposition 4 后面的文字，（准备好代数的基础设施以后）几句话就能说清楚。nonabelian 的推广这里也有。

Erdos 曾经幻想在外星球或者三千年后，会不会有沙滩上玩耍的小孩偶然猜到黎曼假设，经过几分钟的思考，他确认了这是对的。对这个幻想，我一直认为，这怎么可能呢？但起码现在，人类对于最基本的 Poincare duality 的理解差不多达到了这个程度，一个充分成熟的人稍微沉思一下就能确认它是对的。