的情形:
(不妨设 等于1)
对于第二项(含偏导的那一项),里面的积分通过换元可以把 变成 ,这样求导就可以放在积分号内,然后再把 转回到 ,可得第二项其实是
然后由条件,积分区域可以把 改写为 .
只关心 非常大的情况(比如, )。设 . 则可以看出其实只需估计 的阶即可。
设 。不妨设 (否则积分为零)
将积分区域 拆成 与 ,其中 .
对于 , 上的积分小于等于
对于 ,不妨设 (否则, ,积分是0)
(为什么是空集?如果 ,则 。倘若 ,则 ,与 矛盾)
我们分两种情况。
第一种情况,假若 ,则此时 。以 为圆心建立极坐标,由对称性不妨设 被夹在 , 之间
转成极坐标积分得
注意到这是关于 递增的函数,并且之前设过 ,所以该积分小于等于
第二种情况,假若 不是完全落在 内,则 被夹在 , 之间。
转换成极坐标积分得
也就是说,不管哪种情况,都有 上的积分小于等于 . 最后我们利用几何条件确定
回想 上有 。我们有
因此, 上的积分小于等于
最终,原积分 ,这就是我们要的。