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如何证明这道波动方程Cauchy问题解的不等式(先验估计或最大模模估计)? 第1页

  

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的情形:

(不妨设 等于1)

对于第二项(含偏导的那一项),里面的积分通过换元可以把 变成 ,这样求导就可以放在积分号内,然后再把 转回到 ,可得第二项其实是

然后由条件,积分区域可以把 改写为 .

只关心 非常大的情况(比如, )。设 . 则可以看出其实只需估计 的阶即可。

设 。不妨设 (否则积分为零)

将积分区域 拆成 与 ,其中 .

对于 , 上的积分小于等于

对于 ,不妨设 (否则, ,积分是0)

(为什么是空集?如果 ,则 。倘若 ,则 ,与 矛盾)

我们分两种情况。

第一种情况,假若 ,则此时 。以 为圆心建立极坐标,由对称性不妨设 被夹在 , 之间

转成极坐标积分得

注意到这是关于 递增的函数,并且之前设过 ,所以该积分小于等于

第二种情况,假若 不是完全落在 内,则 被夹在 , 之间。

转换成极坐标积分得

也就是说,不管哪种情况,都有 上的积分小于等于 . 最后我们利用几何条件确定

回想 上有 。我们有

因此, 上的积分小于等于

最终,原积分 ,这就是我们要的。




  

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