阿基里斯和乌龟的悖论真的不能用常规逻辑推翻吗？ 第1页

简单，一看就懂。

先说一个老段子。

老板问顾客：“披萨切成6块，还是12块？”

顾客说：“6块吧，12块我怕吃不完”

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我补充一下段子，假设顾客每吃到还剩最后一块，就把剩下那一块披萨分成6份，那顾客永远吃不完披萨，但顾客吃不完不代表会被撑死。（这里其实就隐藏了一个条件，只要你不把现有的披萨吃完，那你每一个过程都不可能把披萨吃完）

乌龟被追上所需要的时间就是这块披萨。

虽然你可以把这段时间无限分割。但它的大小是不变的。

这个悖论就等于我让你从1数到2

你就数，1，1.8，1.87，1.876，1.8765…

然后你告诉我，1永远数不到2。

假设阿基里斯追上乌龟需要100秒。

你就在那里念叨：

第1秒他没追上

第2秒，他没追上

第3秒，他没追上

第3.4秒，他没追上

第4.7秒，他没追上

…

你可以无限描述下去。只要你不说到100秒就行。（隐藏的限定条件，只要你在没追上乌龟，你任何一个连续的过程都不可能追上乌龟）

阿基里斯每到达一个点，乌龟都向前走了一定的距离。

实际上，就是在描述没追上时的情形。

等于在告诉你，这100秒怎么过的。并且无限细分。

实际上，阿基追上乌龟这一完整事件的描述应该为：

当时间未到达100秒时。

阿基每走到乌龟到达过的地方，乌龟都向前移动了一段距离，并且乌龟移动的这一段距离小于阿基移动的总距离。

当时间等于100秒时，阿基和乌龟处于同一位置。

当时间大于100秒时。

乌龟每到达阿基到达过的位置时，阿基都向前移动了更远的距离。

悖论产生的原因就是它只摘取了其中一段进行描述。

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更新：评论区老哥有疑问，我多说一点。

提问者要从逻辑上推翻，不涉及微积分。

其实“阿基每到达乌龟走过的位置，乌龟都向前走了一段距离”

这个描述其实就是限定在乌龟没被追上的时候。

既然已经限定了，那当然是无法得出结论阿基能追上乌龟的。

就好比我把一个物理系统的一部分单独拿出来，轻松就能造出永动机。

这句话翻译过来的意思就是，当阿基没追上乌龟的时候，阿基永远追不上乌龟。甚至都可以把距离和速度都排除在外不用管。

换个角度来说。10除以3，等于3.33333………

这个数字是无限长的，但是大小是固定的。并不能因为小数点后面有无数个3，就说它是无限大的。它实际上还是数轴上一个确切的点。

所以阿基追上乌龟的实际时间是确定的，设为t。逻辑上你不能因为存在一个无限接近t但不等于t的数值存在，就说t永远不能到达（微积分里的情况这里不讨论）。这就是悖论所在。

实际上，阿基每到达一个乌龟所到达过的位置。

这个动作重复次数越多，你得出的时间值就越接近t。

相当于就在运算一个无限接近t值的数值。

就等于把3.3333...往后多写了好几位。

或者你也可以理解为把π值往后多算出了几位。

但是π的大小同样是固定的，你不能因为它后面的小数无限多，就说它无限大。它仍旧是个静态的数字，不是动态的。

所以，整个描述就是在运算一个“仅小于t的值”。限定条件已经给出了小于t。

换言之，它就是在对t做无限分割。切披萨的问题。

因为很简单就能得出，当时间小于t时。阿基到达的任一一点，都是乌龟曾经到达过的。

所以“当阿基到达乌龟曾经到过的点时”这个前半句是没有意义的。因为每个点都是乌龟曾经到过的。

那你就可以推论出：阿基无论到达哪个点，乌龟都会向前走一段距离。

这时候，限制条件就出来了。你会发现，当阿基追上乌龟之后，这个描述就不适用了。

因此，从逻辑上来说，它隐藏了一个限定条件：“在阿基追上乌龟之前”

给一个限定条件做无限分割。我们可以轻易写出许多跟这一悖论差不多的悖论。

比如刚刚提到过的π，我们可以说圆不存在。或者说π等于4。网上随便搜一下应该都有证明。

圆上的任意相连的三个点都不在同一条直线上，又因为任意两个点的连线肯定是条直线。

所以任意3个相邻的点，无限放大后，都是一个角。因此圆不存在，应该叫正多边形，或者叫正无限边形。

另外一个无限的分割法：圆的任意一段，越放大，曲率越小，越接近直线。无限放大后，圆其实就是由直线组成。所以不能算圆，应该是正多边形。

其实这又涉及到另外一个数学理解：相邻点无法描述。

比如我们知道数轴是连续的，给出一个B点。设A点和C点是紧挨着B点的两个点。

即A仅小于B，B仅小于C。

实际上这里就是矛盾的。如果A点C点存在，那就证明ABC之间无法再分割，那就不符合数轴可以无限分割。如果A，C不存在，又违背了数轴是连续的。

所以阿基追乌龟的悖论。实际上是在运算无限接近于t的值。而这个值无法用逻辑表述。

微积分去解释这个悖论，无形中也是用了人为规定去解决这个逻辑。

无限分割和连续的矛盾，才是根源。