数学物理方程怎么那么难？ 第1页

数学物理方程具有很强的物理背景，代表了前电脑时代人类的最高智慧水平，觉得难是很正常的。现在人们在物理和工程里一遇到偏微分方程组，上来就搞CFD，Hydrodynamic Simulation，磁流体模拟，最后做出一堆动画效果来。古人则不然。自从顿哥和莱布尼兹发明微积分以来，数学家和物理学家们写了一大堆微分方程，试图从牛顿力学的普遍原理（first principle）得到一系列的方程，再通过解方程来模拟出大千世界。

大学里的数学物理方程课，大致表现了牛顿以后的人、特别是一群法国佬写方程、解方程的艺术。了解一下各种方程背后的人物和背景，对学习本身很有帮助的。

各种偏微分方程

偏微分方程千千万，其中最具有代表性的是三个：波动方程，热传导方程，拉普拉斯/泊松方程（也叫场方程）。

这三个方程的具体形式我后面再写，这里先写一种，即general的两维二阶线性偏微分方程：

可以把上面的方程按照 分为三类，椭圆型，双曲型和抛物型。其中椭圆型方程的代表就是拉普拉斯和泊松方程，双曲的代表是波动方程，抛物型的代表是热传导方程。

当然这些方程只是偏微分方程大军里的一小部分。一个自然的推广是把二阶方程推广到三维，甚至是N维的普遍情况。另外，比如量子力学里的薛定谔方程究竟是波动方程，还是热传导型的方程？流体力学里的纳维斯托克斯方程，又是什么型方程？

MHD里的方程组：

如何套上数学物理方法的方式求解？大部分方程（组）只能求数值解。数值解可以用大型超算并行运算进行模拟，比如下面的湍流的图像：

回头来看数学物理方程，那是前计算机时代的古人特别是法国人秀肌肉的一些特殊的偏微分方程。下面来举一些例子。

拉普拉斯（Laplace）方程和泊松（Poisson）方程

Laplace方程是Poisson方程的特例。这两个人都是法国人：

这两个方程常常用来描述场（电场，引力场等等）。拉普拉斯最早用它来搞天体力学描述引力势能，时间是1770年代（乾隆年间）。

解拉拉（拉普拉斯）方程很有意思，首先该方程在不同坐标系下的表达形式：

在不用数值解的情况下，如何求解上面的方程？

一个常用的方法是分离变量+级数展开。

球坐标下的拉普拉斯方程

拉拉方程在直角坐标系下的解还是比较简单的，就不说了。下面来看看在球坐标系下的拉拉方程。可以把要求解的函数分解成球半径方向R，以及另外两个角度方向Y（这个被称为球谐函数）：

其中第二个方程还可以继续分解成两个角度方向上的两个常微分方程：

上面第二个方程摇身一变，就可以转化一个叫做“勒让德”的方程。这个勒让德，也是个法国佬，这人长得比较彪悍：

过去很长时间，人们认为勒让德长得人畜无害，很多老版的数学书上的勒让德都是这个样子：

结果发现图片搞错了。另外勒让德、拉格朗日和拉普拉斯是法国大革命前后数学界著名的3L。这些都是题外话。

回过来说勒让德方程。今天我们通常把勒让德方程写成如下形式：

本质上，勒让德方程是没有解析解的，但是方程硬是被勒让德分解出一堆被称为“勒让德函数”的解来。下面是勒让德同学的原始研究，1785年，那年林则徐刚刚出生：

勒让德函数是一种特殊函数。18和19世纪那时候的人搞出来很多所谓的特殊函数，有一本很有名的书，王竹溪和郭敦仁写的，讨论了形形色色的特殊函数：

所以，球坐标下的拉拉方程，通过一系列转化，可以转化为勒让德方程，得到勒让德函数的解，最后拉拉方程的解变成一系列级数相加（至于级数是否收敛，这就是另外一个数学问题了）。当然，人们更喜欢把各种解分出来讨论，比如拉拉方程推出来的球谐函数：

球谐函数非常有用，在量子力学里用薛定谔方程解氢原子的电子云结构也会用到。

柱坐标系下的拉普拉斯方程

球坐标系下的拉拉方程是和勒让德方程挂钩的。柱坐标下的拉拉方程，通过分离变量+级数展开，也分解成三个常微分方程：柱方向上（z轴）的方程，角度方向（ ）方程，和径向（R）的方程。其中前两个方程不难，最后转行为一种叫做“贝塞尔”的方程：

这个方程没有解析解，但是可以解可以转化成一系列贝塞尔函数。下图是贝塞尔：

贝塞尔是个德国天文学家，贝塞尔函数是他在讨论天文问题的时候系统整理讨论的。注意，这时候德国人冒出来了，法国人经过大革命的“洗礼”后，数学越来越不行了，德国开始成为了数学的世界中心。

泊松方程和格林函数

拉拉方程只是泊松方程的特例。泊松方程代表着有源source的场方程，比如直角坐标系下的泊松方程：

f=0则对应拉普拉斯方程。

为了避免直接在知乎开课，下面略过细节，只是大致说说解泊松方程的思路。一种方法，是把泊松方程转化为如下的“特殊”泊松方程，也就是类似系统只有一个质点或者一个点电荷的场方程（V区域内），而边界上（S）场强度为零：

满足上面方程的解，被称为格林函数（绿色函数）。最简单的格林函数其实很容易理解，如下图学过电动力学的同学大概还记得“镜像电荷”的概念，具体的如果有人提问我再解释吧：

下面是绿同学，注意这人也不是法国人，而是英国人：

泊松方程的解，就是把很多很多的格林函数叠加起来，写成积分的形式：

接下来回过头接着来说法国人。

波动方程

波动方程的普遍形式是这样的：

而解的物理直观是这样的，下面是球面波的传播，满足波动方程：

最早研究波动方程的同学，是个叫做达朗贝尔的法国人，这人是法国“百科全书学派”的代表人物：

达朗贝尔搞出了一个一维波动方程的通解:

波动方程在物理里非常有用，其中一个代表就是从麦克斯韦方程推出电磁波的存在。下面是真空中的麦克斯韦方程组：

下面是从方程组推出的电场和磁场的电磁波：

由此老麦预言了电磁波的存在，最终被德国物理学家赫兹发现了。

热传导方程

热传导方程的形式是：

这是抛物型的二阶偏微分方程。

系统讨论热传导的，是法国数学家和物理学家傅里叶：

这位老哥在1822年出版的《热的解析》，可谓是一部划时代的作品：

搞笑的是，下面是勒让德和傅里叶两个人的对比，一副1820年代的水彩画。不过画家似乎没有认识到勒让德和傅里叶的数学水平，在他们背后画的是勾股定理和切线圆等平面几何的内容，而不是勒让德函数和傅里叶级数。

既然热传导方程是傅里叶系统研究的，可以想象他用了什么方法，那就是——傅里叶级数和傅里叶分析。

下面就是热传导的傅里叶解，这位老哥是原创，之后很多人发展了傅里叶级数和傅里叶变换：

值得一提的是，扩散方程和热传导方程是一类的，下面是爱因斯坦同学的原创，通过布朗运动来测量分子的性质，从而证实分子的存在：

看出上面爱因斯坦论文里的“扩散方程”和对应的解了吧？

很明显，爱因斯坦上面扩散方程的解和傅里叶的解是不一样的，这其中的原因，可以通过仔细学习数学物理方程得到解答。

写的有点累了，先写这么多。