1624年,英国数学家布里格斯的《对数算术》出版,书中记录14位常用对数表。
17 世纪的时候, 人们是把海量的幂运算的结果反过来映射,加上“线性插值/线性内插法”, 来制作对数表的。 有点类似现代密码暴破的味道,或者数值仿真中参数扫描的那种感觉。比如,上百名制表工人用几年到几十年的工夫把 1.001~9.999 之间所有的数的幂运算结果记录下来,就可以编出相对完整的常用对数表。
瑞士的一个天文仪器/钟表匠比尔吉(Joost Bürgi)独立制作了对数表,用8年时间编了世界上最早的对数表,但长期不发表。直到1620年在开普勒的恳求下才发表出来,但纳皮尔的对数表已闻名欧洲了。约斯特·比尔吉曾担任天文学家开普勒的助手,经常接触复杂的天文计算,因此产生了化简数值计算的想法。比尔吉受施蒂费尔相关工作的影响,对等差和等比数列的关系作出了进一步的研究于1610年前后发明了对数,但10年后(1620年)才在《等差数列和等比数列表》中发布了他的思想。早在1588年比尔吉就完成了对数的发明,较纳皮尔早。然而比尔吉没有发展对数函数的明确概念。比尔吉也是积化和差(prosthaphaeresis)快速计算技巧的主要贡献者。
苏格兰数学家约翰·纳皮尔(John Napier)男爵对数值的计算有很深的研究。为找到简化球面三角计算的方法,也产生发展对数的想法。1614年,他在《奇妙的对数表的描述》上发布了对数表,发表时间早比尔吉6年。纳皮尔用加减法代替了乘除法(积化和差),简化了运算。他的对数被后人称为纳皮尔对数。
1624年,英国数学家布里格斯的《对数算术》出版,书中记录14位常用对数表。布里格斯率先采用了以10为底的常用对数。还制作了正弦和正切的对数表。荷兰数学家兼出版商弗拉克在布里格斯的基础上加以改进,对数表在欧洲迅速普及起来。
清朝初年,中国数学家薛鳳祚(1600-1680)和穆尼阁(扬·米科瓦伊·斯莫古莱克基)合作完成了中国最早的对数著作《比例对数表》(又名《历学会通》),对数自此传入中国。《数理精蕴》中则称作对数比例:“对数比例乃西士若往·纳白尔所作,以借数与真数对列成表,故名对数表。”
中国后来普遍称之为“对数”。
π-2 = 1.14159
查对数表得:
ln(π) = 1.14473
不需要,我已经几乎两年没用过有线充电了。
把常用场合都部署好无线充电以后,真的不用操心换手机换充电器之类的事情。
其实很简单的一个问题:取消耳机口之后,各位是改用L口耳机C口耳机,还是改用无线耳机?我曾经以为会普及L口或者C口耳机,然而现实就是无线耳机开始普及。
无线充电座普及之后,由于它没有插拔,所以她的寿命其实远比手机要长。
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所以,如果你没有无线充,强烈建议你尝试无线充。
估算一个上界。思路是每一轮都寻求一条最短线段,将当前包含天使的多边形,按面积等分成两个新的子多边形。再假设天使的运气足够好,每次都瞬移到等分效率较低的子多边形。
直观看出,取平行于正三角形一条边的线段来等分其面积,等分效率最高。令此线段长度 ,三角形边长 ,则:
这样,初始正三角形被分成一个新的小正三角形和一个等腰梯形,易见等腰梯形的等分效率远高于新的小正三角形,于是根据假设,天使将瞬移到新的小正三角形当中。如此循环,至于无穷,天使将被锁定在初始正三角形的一个顶点。计算魔鬼走过的耗时路程:
记魔鬼速度 ,则捉住天使的时间:
这个题目如此离散,不借助于数值离散优化不易得到全局最优解,建议大家来改进这个上界吧。
按照 @yyx 说的圆弧线等分正三角形以及后续的扇形,上界可以改进为:
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直观看出,取平行于正三角形一条边的线段来等分其面积,等分效率最高。令此线段长度 ,三角形边长 ,则:
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记魔鬼速度 ,则捉住天使的时间:
这个题目如此离散,不借助于数值离散优化不易得到全局最优解,建议大家来改进这个上界吧。
按照 @yyx 说的圆弧线等分正三角形以及后续的扇形,上界可以改进为:
估算一个上界。思路是每一轮都寻求一条最短线段,将当前包含天使的多边形,按面积等分成两个新的子多边形。再假设天使的运气足够好,每次都瞬移到等分效率较低的子多边形。
直观看出,取平行于正三角形一条边的线段来等分其面积,等分效率最高。令此线段长度 ,三角形边长 ,则:
这样,初始正三角形被分成一个新的小正三角形和一个等腰梯形,易见等腰梯形的等分效率远高于新的小正三角形,于是根据假设,天使将瞬移到新的小正三角形当中。如此循环,至于无穷,天使将被锁定在初始正三角形的一个顶点。计算魔鬼走过的耗时路程:
记魔鬼速度 ,则捉住天使的时间:
这个题目如此离散,不借助于数值离散优化不易得到全局最优解,建议大家来改进这个上界吧。
按照 @yyx 说的圆弧线等分正三角形以及后续的扇形,上界可以改进为: