有哪些任意阶导数的零点都相同的函数？ 第1页
1
liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
定理 与 在 上互素，当且仅当 无重根。
证： 反证法。若 有重根，则
求导
这与 与 互素矛盾。
假若 与 有公因式 ，且满足 是 的 重根，于是设
于是 ，设 ，则
由积分第二中值定理
这与 是 的 重根矛盾。
注意：这里实际上我们推广了多项式中的定理。我们约定所谓重根是指含有因式 ，其中 。我们说有根，是指 。若考虑 的情况，则求导后会出现奇点，这不在我们的关心的范围。
于是，若 零点相同，则说明 有重根，而且对任意 都成立。也就是说这个根不会受到求导的影响以致于消失。所以只能联想到指数函数——
显然他们只有在 （可去奇点）这一个根，继续求导，可以预见导数总是如下形式
其中 都是多项式， 依然是根（这个结论读者自证吧）。不过除此之外还会产生 的根，所以按照此种方法，我们只能保证 的任意阶导数都有同一个根。
当然，零函数就不说了。
1
相关话题
一元微分理论中，为什么 d(dy/dx)/dx=d^2y/(dx)^2 ？这个极限可以求得吗?
求极限过程（如下图）？
这个积分有人会不呀 我想不通?
定积分?怎么解？
“喝醉的酒鬼总能找到回家的路， 喝醉的小鸟则可能永远也回不了家”具体是什么定理？
如何用高中数学知识证明 ln(ln88)＜3/2？
这道不定积分有其他更加方便的方法吗？?
请问这个级数的和怎么求？跟Wallis有联系吗？
有哪些任意阶导数的零点都相同的函数？
前一个讨论
线性映射为什么那么重要？
相关的话题
怎么求lnsinx在0到pi/2的积分啊？如何评价中科大2019-2020学年单变量微积分期末考试？
这种积分怎么算？
如何处理这类三个连乘的积分呢？
数学中为什么要定义各种空间？
这个级数题怎么解?
这个不定积分为什么是这样的啊？
9.99循环这个数存不存在，如果存在，那么它是整数还是无限循环小数？
如何计算以下的积分？
微积分体系几百年前就建立起来了，为什么我们现在学习它仍存在困难？
实数完备性的基本定理为什么是 6 个？
圆周率已被算到31.4万亿位，科学家如此执着，到底为了什么？
微积分与线性代数有关系吗？
想请教大家一个级数证明问题，这个有啥好的办法嘛？
不代入数值怎么证明π<sqrt(2)+sqrt(3)?
求解决这道题目？
请问下面两个极限问题如何解决？
如何看待马克思的《数学手稿》？
一个积分不等式，该怎么处理？
怎么看待「学数学没啥用，买菜难道还用得上微积分」的理论？
想请教大家一个级数证明问题，这个有啥好的办法嘛？
这个定积分如何求解？
请问这个不等式（微积分怎么证明?
万有引力定律中，为什么由 F∝m、F∝M 可以推出 F∝Mm？如何用数学方法证明？
这样的极限应该怎么去求解？
是否存在三边都为有理数的三角形，其面积为 1？
这个第二型曲面积分用书上的方法怎么做不出正确结果，第二型曲面积分转化成重积分怎么理解？
如何求解下面有关gamma函数的积分？
请问这个不等式该如何证明？
为什么对球的体积公式求导就是球的面积公式?