有哪些任意阶导数的零点都相同的函数？ 第1页
1
liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
定理 与 在 上互素，当且仅当 无重根。
证： 反证法。若 有重根，则
求导
这与 与 互素矛盾。
假若 与 有公因式 ，且满足 是 的 重根，于是设
于是 ，设 ，则
由积分第二中值定理
这与 是 的 重根矛盾。
注意：这里实际上我们推广了多项式中的定理。我们约定所谓重根是指含有因式 ，其中 。我们说有根，是指 。若考虑 的情况，则求导后会出现奇点，这不在我们的关心的范围。
于是，若 零点相同，则说明 有重根，而且对任意 都成立。也就是说这个根不会受到求导的影响以致于消失。所以只能联想到指数函数——
显然他们只有在 （可去奇点）这一个根，继续求导，可以预见导数总是如下形式
其中 都是多项式， 依然是根（这个结论读者自证吧）。不过除此之外还会产生 的根，所以按照此种方法，我们只能保证 的任意阶导数都有同一个根。
当然，零函数就不说了。
1
相关话题
为什么教科书要写的这么复杂？数列「1，2，2，3，3，3，...」的通项公式是什么？
fx在R上连续可微，limf‘x=c，且f(x+1)-f(x)=f’(x) 如何证明f’x恒等于c?
如何理解微积分中的喇叭悖论？
请问一道难度很大定积分，有什么好的解法吗，如下？
如何计算以下的积分？
如何确定该双变量函数的所有间断点？
如何用最简单的语言统一描述多元函数求导（对向量求导、对矩阵求导等）？
数学重要的是记忆力、推理力，还是理解能力？
一天做完一百道积分题是一种什么感觉？
前一个讨论
线性映射为什么那么重要？
相关的话题
y=x^x的原函数是多少，能求出来吗?如果函数是一种法则，那它为什么有最大值、极限，还能相加减等等？
你在实际生活中用过微积分计算吗？没有用的话我们为什么要学呢？
黎曼－斯蒂尔杰斯积分有什么存在的意义吗？
有没有可能把 π 或 e 等无理数当成 1，这样就能使许多定理显而易见？
这道重积分不等式的题怎么做?
“圆是变化率不变的变化所成的轨迹”这句话用微分方程怎么表示？
高等数学中的希腊字母你们都是如何书写的？
如何证明下面的积分不等式？
在知乎上什么样的数学问题最好不要回答？
如何计算以下的积分？
如何证明 sin(a+b)＝sina·cosb＋sinb·cosa？
函数可导，则其导函数可积？
这个级数题怎么解?
有哪些玩游戏时能使用的高等数学知识？
有理函数的不定积分分母的标准分解的窍门，一些分母较为复杂，如何进行分解？
ln(x)取值为超越数的条件是什么？
一道难题求助大佬?
这个级数和怎么证明？
为什么 e^(iπ) + 1 = 0？
这个要怎么积？
一个函数的不定积分存在有哪些必要条件或者充分条件？
请问如何理解极限的精确定义？
傅里叶级数的系数是怎么得到的？
微分符号 dx、dy 表示什么含义？
这个高阶导数怎么写?
这个反常积分怎么推导呢?
如何证明一个数学命题的不可证性？
数学中，f'(x) 和 (f(x))' 到底有什么区别？
关于闭区间上连续函数的一个证明题？