如何证明不全无界的两不相交闭集之间的的距离大于0？ 第1页

如果是在一般的度量空间下，这个命题是不对的。考虑度量空间 （ 就是 这个度量）。作 上的函数序列 ， 。考虑 ， 。有：

• 和 不全无界（甚至都有界）
• 和 不相交（每个函数都不一样）
• 和 都是闭集。这个不是很显然，以复杂的 为例。我们只需说明： 没有聚点。进一步只需说明： 不存在 意义下收敛（即一致收敛）的子列。假如 有收敛子列 ，一致收敛于 ，首先由 在 上点态收敛于 得知 也必在 上点态收敛于 ，故 在 上只能是 ，由连续性 在 上恒等于 ，但 ，故 不可能一致收敛于 ，矛盾。
• 和 距离是0. 这是因为

所以上述就是反例。

如果改动一下题目的表述，比如，

如果 是紧集 是闭集且二者不相交，则其距离大于0

这个命题是正确的。此时也可以知道这与题主命题的差别：有界闭集未必是紧集。

证明很简单，首先 中任何点 到 的距离都是正的，记为 （为什么？利用 是闭集的事实，以及闭集是开集的补集这个定义去证）。然后考虑 的开覆盖 ，由 是紧集的事实知道存在有限覆盖 ，记 ，剩下的你就知道该怎么办了。

评论区也给出了非常优秀的做法，就是紧集到闭集的距离作为紧集上的函数是连续的。注意这需要用到连续函数把紧集映成紧集的事实，像是紧集，下确界是可以取到的，所以必须大于0。这也看出来原来的有界闭集为什么不对，因为连续函数不一定把有界闭集映成有界闭集。