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这道竞赛高数题咋写? 第1页

  

user avatar   zhou-da-xia-83-25 网友的相关建议: 
      


不太会用电脑排版,换元分部应该是能想到最简单的方法了


user avatar   yu-yiren-62 网友的相关建议: 
      

作换元,置 则 于是

其中,第五行对最末一个积分利用了区间再现公式


user avatar   inversioner 网友的相关建议: 
      

考虑函数 的积分。取 的单值解析分支: 。考虑积分围道 :

大圆叫做 ,小圆叫做 。

注意在实轴下岸有 ,那么

这样有

左边用留数定理:

两边令 就得到结果。


user avatar   thinkerv 网友的相关建议: 
      

估算一个上界。思路是每一轮都寻求一条最短线段,将当前包含天使的多边形,按面积等分成两个新的子多边形。再假设天使的运气足够好,每次都瞬移到等分效率较低的子多边形。

直观看出,取平行于正三角形一条边的线段来等分其面积,等分效率最高。令此线段长度 ,三角形边长 ,则:

这样,初始正三角形被分成一个新的小正三角形和一个等腰梯形,易见等腰梯形的等分效率远高于新的小正三角形,于是根据假设,天使将瞬移到新的小正三角形当中。如此循环,至于无穷,天使将被锁定在初始正三角形的一个顶点。计算魔鬼走过的耗时路程:

记魔鬼速度 ,则捉住天使的时间:

这个题目如此离散,不借助于数值离散优化不易得到全局最优解,建议大家来改进这个上界吧。


按照 @yyx 说的圆弧线等分正三角形以及后续的扇形,上界可以改进为:




  

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