如何证明在平面内，连接多边形内一点与多边形外一点的线段必与多边形的边有交点？ 第1页
1
liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
设多边形 内部一个点 ，外部一点 ，做变换
这样一来，多边形变成了一个以原点为圆心的单位圆。
变换 满足：
- 若 ，则 ；若 ，则 .
- ，即将 映射到原点。
关于这个证明我以前刚好回答过： https://www.zhihu.com/question/370749736/answer/1007725617
所以问题最后就转换为，圆心和圆外一点 的连线，必然和圆 有交点 ，那么一定会有原像集 ，即为所求。
可以直接联立方程
另外注意隐藏的条件：
其中 是平面向量。最后很容易解得：
于是 ，证毕。
当然了，这个问题还是不得不提及Jordan闭曲线定理，没有它，曲线的「内」与「外」无从谈起。（在评论区有网友提醒我，我也觉得还是要捎带说一下答案更完整。）另外， 可以是更一般的区域，而不仅仅是多边形，但是我尊重题主的问题，所以就继承其说法。
至于Jordan闭曲线定理的证明，一般来说各种教材就直接略过了，因为真的很繁琐。我以前在邓冠铁老师的《复变函数论》看过当 是多边形时的证明，恰好可以用在这里。用代数拓扑的方法证明很简单，但是需要铺垫的知识很多，就看姜伯驹老师的书就行了。
1
相关话题
怎么用尺规作图法将一条线段分为两部分，且比例为 1:2？狼想吃掉羊，狮子要保护羊，他能做到吗？
如果换一种几何，圆周率的值会变么？
任给正整数N，都能在平面上画出一个圆，使圆内整点个数为N吗？
本科生想要了解射影几何有什么书或者资料推荐吗？
点集拓扑为什么要这样定义？具有几何意义吗？
为什么不把高中的正余弦定理和直线与圆的方程知识放到初中学？
圆上任选三点组成三角形，这个三角形是锐角、钝角和直角三角形的概率分别是多少？
如何看待卡西·曼夫妇发现的可无缝密铺平面的五边形？
极坐标下，形如 r = (sin(kθ)/sin((n + k)θ)) l 的曲线如何判断形状？
相关的话题
轴对称图形只能看出来么，不能证明么？想问一下这种椭圆柱面在第一卦限的体积怎么算?
面积与体积的精确定义究竟是什么？
大佬请帮我理解一下这个有关dx的正规数学表达？
曲线围成的面积存在但是真的可求吗？还是说看作一种定义？
三角形存在垂心，请问任意四面体是否存在垂心？何以证明？坐标是什么？
数学学到什么程度可以进行下一部分的学习了？
中国版图的外接圆（即最小的能把中国全境包围于其中的圆），圆心在什么地方？
如何证明环面T2不能嵌入到球面S2中?
如何证明同一个魔方公式循环N遍后都会回到原状态？
为什么 sp³d 杂化形成的是键角不等的三角双锥？
正方体的体对角线垂直吗？
代数、几何能否联系一起？
对于数学分析、微分方程、复变、代数学、拓扑学等数学课程你都见过哪些很有自己一派风格而不落俗套的教材?
用向量方法证明海伦公式划线的地方没明白⊙ω⊙？求详细过程！？
怎样理解“单点紧化”？
对于当今数学来说，「几何」到底是什么？
如何证明封闭曲线面积的参数积分公式？
如何证明单位圆周上n个点两两距离乘积的平方当且仅当各点均匀分布时取到最大值nⁿ?
实变函数，泛函分析，拓扑学中重要的定理概念有哪些？
什么是半微分（semi-differential）？有什么几何意义吗？
为什么三点决定一个圆，而圆规只需两点就决定了一个圆？
有没有对于各种榫卯结构，在数学上的研究?
1 不可以被 3 除尽，但为什么圆可以被三等分？
一个关于T2与紧性的拓扑问题，如何证明？
这个几何问题有什么方法吗?
基础数学的非线性泛函分析研究什么？
曲线围成的面积存在但是真的可求吗？还是说看作一种定义？
如果边数为偶数的凸多边形存在内切椭圆，并且其对边切点连线交于一点，则此多边形的对角线也交于此点吗？
如何直观地解释「紧致性」？