二维空间有四色定理，那三维空间中存在 n 色定理吗？如果有，那么是几色定理？ 第1页

3维空间就平凡了，不存在自然数n使得该命题成立，请看下图：

每种颜色都可以触碰所有其它的颜色

在二维拓扑空间中，线之间相交处的颜色不能互相穿过从而保证了有限色定理成立的可能性。

而三维拓扑空间中，线则可以互相穿过对方叠起来使得上述图片成立，无论多少种颜色都不够。

可以看在Minecraft中的演示：

事实上，只要对二维拓扑流形(当然可微更好)的部分点进行认同(可以看作类似虫洞的结构，让该流形重新可微。相当于给平面增加了亏格数)，改变该平面的拓扑结构，需要染的色也毫不意外地会增长。

根据“林格尔-杨格斯定理”，一个有k亏格的二维可定向拓扑流形(曲面)上最多需要 种颜色来染色。因此这个东西不是和维度挂钩，它只能被限制在曲面（二维拓扑流形）上，真正和它挂钩的是其拓扑性质。考虑更高维的没有意义。

题目换新了(可查看问题日志)，防止被认为是不审题，我再对凸区域情况进行补充。

首先"备份"题目：

二维平面中需要至少 4 种颜色来区分不同的凸区域，那么三维空间中的凸区域需要几种颜色，如何证明？

这个问题我还是找到了漏洞;D 。首先，三维空间，"空间"并没有指定其拓扑结构。此外，凸集是依靠直线或测地线定义的，那么也就是说，我们在带度规与挠率(确定测地线)的三维流形上才能展开讨论：

首先拓扑结构与平直性没有任何联系。平直被定义为黎曼张量为0。即便是球面 我也可以定义出度规使得黎曼张量为0。因此在给定度规的情况下，我可以使劲改变流形的亏格数，使劲认同各种点，导致三维流形上仍然不存在统一的如此n色定理。此外，凸集是测地线相关的性质，因此和适配导数算符关系最大。而适配导数算符 可以由度规 与挠率 唯一确定。因此给什么度规什么挠率都是我说了算，那我可以先让上述彩色线转弯时可微一点，然后使用合适的挠率与度规使它满足测地线的要求，从而线上任意两点都有在测地线上的测地线连接，符合凸集的定义，让该自然数 n 仍然不存在，完美。

当然，如果你限制在三维无挠欧氏空间 ，那就有意思了。因为简化染色情况的点线图难以反映其是否凸性。这个倒是一个十分有意思的命题。如何把点线图凸化。