说一个少有人提及,但是又非常常见的投射模(projective module)的例子。而且这个例子如此普遍,哪里都有它的身影,就是我们常说的(开)莫比乌斯带。
可是莫比乌斯带,作为一个拓扑对象,它跟投射模有啥关系?它上面都没有一个明显的模结构。但是我们知道,它除了是一个拓扑对象,也可以赋予向量丛的结构。它是“非平凡向量丛”的一个最简单的典型例子。与之相对照的,(开)圆柱面是一个平凡的向量丛,同构于圆周和一维线性空间的乘积 ,它有处处非零的截面(section),比如由 就是一个这样的截面。而莫比乌斯带是不平凡的:它的任何截面都必定有零点[1],否则设 是这样一个处处非零的截面,又设 是底空间(base space)圆周 上的切向量场,则 就定义了一个定向。然而我们知道莫比乌斯带不可定向。
那模结构在哪里?对于任何实流形 ,它上面的光滑函数全体 是一个交换环。流形 上任何一个实向量丛 ,它的光滑截面全体 构成一个 模:若 是一个光滑函数, 是一个光滑截面,则 逐点相乘也是一个光滑截面。这个作用显然满足模的运算规则。而向量丛之间的丛映射(bundle map[2])诱导对应的截面模之间的同态映射,使得 成为一个协变函子(functor)。当 紧致的时候,有个Serre–Swan[3]定理说,这俩范畴实际上是等价的。这定理还说,不论 是否紧致, 都是一个有限生成投射模。所以投射模就像紧流形上的向量丛。
我们知道,投射模是自由模的直和部分。也就是说,任意一个投射模,都能找到另外一个投射模,使得它俩的直和是自由模。回到莫比乌斯带的例子,我们只需要再找一个一模一样的莫比乌斯带,让底空间(也就是腰部中线)重合,叠放在一起,然后把其中的一个底空间转一个角度,使得俩向量丛的相(phase)不同步,从而同一点上的向量都无关。这俩丛的直和,就是每个点上直和拼接起来。因为每个点上的向量无关,从而直和之后得到一个二维平面 。整体结果就得到一个平凡的丛 ,它的截面全体构成一个自由模。这个具体的构造方式,也证明了莫比乌斯带确实对应着一个投射模。