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如何用变分法证明圆是同等周长下,面积最大的平面图形? 第1页

  

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设D为图形的区域,则 为图形边界,图形周长为2πR,因此题目的问题可以改写为:

根据格林公式: ,我们不妨设 ,则目标函数可以被转化为: 。因此,我们可以使用拉格朗日乘数法构造:

则S被称作泛函,F被称作为泛函核。当泛函S取极值时,其核函数F必须满足欧拉-拉格朗日方程

其中:

把 代入到(1)式,得:

两侧同时积分,得:

把 代入到(2)式,得:

两侧同时积分,得:

(3)+(4),得:

由于x和y有无数种参数方程表示,所以我们只取其中一种方式(设 ):

因此 ,把 代入到优化问题的限制条件中:

由于 ,所以 ,因此周长为L且面积最大图形的直角坐标表达式为:

即圆形。




  

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