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如何证明下面的复分析问题? 第1页

  

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不是单连通区域会有反例,比如考虑

知 是 上整体定义的 1-形式。

假设存在 上的全纯函数 使得 ,

那么由 知, 。

所以 ,矛盾。

反例其实可以从单连通情形的证明中看出来:

命题:设 是单连通黎曼曲面, 为全纯函数,则存在全纯函数 ,使得 。

证明如下:

注意到 是整体定义的 1-形式,且它是闭的 ( )。

由 单连通 ( ),知 是恰当的,即存在 使得 。由 全纯可知 也是全纯的。

注意到 ,于是 。

则 即为所求的全纯函数,这里 表示多值函数 在固定的一个单叶解析分支里 的取值。




  

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