如何证明Osgood定理？ 第1页
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定理(Osgood) 设单位圆盘。如果是上逐点收敛到的全纯函数序列，则存在的稠密开集使得在上全纯。[1]
证明：设 是 的非空开子集，且 定义
由于 逐点收敛，则对任意固定的 是有界集，所以每个 都位于某个 中，所以
由Baire纲定理，存在 使得 所以存在开球 .
由Montel定理（Stein书的第八章定理3.3(ii)）， 存在子列 使得在 的每个紧子集都一致收敛于 ，当然这里 和 相等，而且 在 中全纯. （注意全纯函数序列的一致收敛极限也是全纯的，见Stein书的第二章定理5.2(Morera定理的推论)。）
由 的任意性，结论证毕.
注：(1)Baire纲定理（学过实变泛函的同学应该都会）
(2)Morera定理与它的推论
(3)Montel定理
参考
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